.04.2 – angeregte Schwingung, Federsystem mit zwei Stäben

 

Das abgebildete System besteht aus zwei starren Stäben, die miteinander über eine Feder verbunden sind. Der rechte Stab ist gegenüber einer festen Wand über eine zweite Feder abgestützt und wird durch die zeitveränderliche Kraft F angeregt. Die Bewegung erfolgt in einer horizontalen Ebene.

Schwingendes System Aufgabenstellung

für kleine Auslenkungen stelle man die Bewegungsgleichung auf.

Wie lautet die Eigenkreisfrequenz des schwingenden Systems?

Gegeben: L, F, c1, c2, ΘA, ΘB

Lösung

Wir treffen zunächst folgende Feststellungen:

  • es liegt ein System mit zwei Freiheitsgraden vor
  • die Bewegung ist eine reine Rotationsschwingung
  • Art der Anregung: Kraftanregung
  • es gibt keine Dämpfung
  • die Gravitation muss nicht beachtet werden

Freigeschnittenes System Federschwinger

Den Schwerpunktsatz braucht man hier nicht, da nur eine Rotation vorliegt.

Der Drallsatz lautet:

A (linkes Teilsystem):

\Theta_A \ddot \varphi_1 = F_1 L

Für die Federkraft F1 gilt:

F = c x \quad \quad \Rightarrow \quad \quad F_1 = c_1 \left( x_2-x_1 \right)

Für den Winkel kann man (linearisierend) schreiben:

\varphi L = x_1 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \varphi = \frac{x_1}{L}

mit der zweiten Ableitung:

\ddot \varphi = \frac{\ddot x_1}{L}

Alles eingesetzt:

\quad \Rightarrow \quad \Theta_A \frac{\ddot x_1}{L} = c_1  \left( x_2-x_1 \right) L

B (rechtes Teilsystem):

\Theta_A \ddot \varphi_1 = FL-F_1L-F_2 \frac{L}{2}

\Theta_B \frac{\ddot x_2}{L} = FL-c_1 \left(x_2-x_1 \right) L- \frac{c_2 x_2 L}{4}

mit

F_2 = c_2 \frac {x_2}{2}

Wir stellen um und erhalten ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem:

\frac{\Theta_A}{L^2} \ddot x_1+c_1 x_1-c_1 x_2 = 0

\frac{\Theta_B}{L^2} \ddot x_2+c_1 x_1+\left(c_1+\frac{c_2}{4} \right) x_2 = F

a )

Das gekoppelte DGL-System können wir als Matrix darstellen:

\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }} & 0  \\    0 & {\frac{{\Theta _B }} {{L^2 }}}  \\   \end{array} } \right]}_M\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \ddot x_1   \\    \ddot x_2   \\   \end{array} } \right\}+\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    c_1  & -c_1   \\    {-c_1 } & {c_1 +\frac{{c_2 }} {4}}  \\   \end{array} } \right]}_K\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    x_1   \\    {x_2 }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    F  \\   \end{array} } \right\}

b )

Für die Eigenkreisfrequenz genügt es, die homogene Differentialgleichung zu lösen:

\left[ M \right]\left\{ {\ddot x} \right\}+\left[ K \right]\left\{ x \right\} = \left\{ 0 \right\}

Wir benutzen den normalen Exponentialansatz, nur dieses mal als Vektor:

\left\{ x \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat x_1 e^{\omega t}   \\    {\hat x_2 e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\}

mit der zweiten Ableitung

\left\{ {\ddot x} \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 \hat x_1 e^{\omega t}   \\    {\omega ^2 \hat x_2 e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\}

Dies setzen wir beides in die Matrix-DGL ein:

\left[ M \right]\omega ^2 \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat x_1 e^{\omega t}   \\    {\hat x_2 e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\}+\left[ K \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat x_1 e^{\omega t}   \\    {\hat x_2 e^{\omega t} }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ 0 \right\}

wir fassen zusammen:

\underbrace {\left( {\omega ^2 \left[ M \right]+\left[ K \right]} \right)}_{\left[ B \right]}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \hat x_1   \\    \hat x_2   \\   \end{array} } \right\}e^{\omega t}  = \left\{ 0 \right\}

Da die Amplituden und die e-Funktion niemals 0 werden können, muss die Determinante der Matrix B zu 0 werden:

\det B = 0

\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \omega ^2 \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}+c_1  & {-c_1 }  \\    {-c_1 } & {\omega ^2 \frac{{\Theta _B }} {{L^2 }}+c_1 +\frac{{c_2 }} {4}}  \\   \end{array} } \right| = 0

Wir multiplizieren aus und erhalten die charakteristische Gleichung:

\Rightarrow \left( {\omega ^2 \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}+c_1 } \right)\left( {\omega ^2 \frac{{\Theta _B }} {{L^2 }}+c_1 +\frac{{c_2 }} {4}} \right)-c_1^2  = 0

Diese multiplizieren wie weiter aus und erhalten eine biquadratische Gleichung:

\Rightarrow \left( {\omega ^2 \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}\omega ^2 \frac{{\Theta _B }} {{L^2 }}+\omega ^2 \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}c_1 +\omega ^2 \frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}\frac{{c_2 }} {4}} \right)+\left( {c_1 \omega ^2 \frac{{\Theta _B }} {{L^2 }}+c_1 c_1 +c_1 \frac{{c_2 }} {4}} \right)-c_1^2  = 0

\Rightarrow \left( {\omega ^4 \frac{{\Theta _A \Theta _B }} {{L^4 }}+\omega ^2 \left( {\frac{{\Theta _A c_1 }} {{L^2 }}+\frac{{\Theta _A }} {{L^2 }}\frac{{c_2 }} {4}} \right)} \right)+\left( {\omega ^2 \frac{{\Theta _B c_1 }} {{L^2 }}+c_1^2 +\frac{{c_1 c_2 }} {4}} \right)-c_1^2  = 0

\Rightarrow \omega ^4 \frac{{\Theta _A \Theta _B }} {{L^4 }}+\omega ^2 \frac{{4\Theta _A c_1 +\Theta _A c_2 +4\Theta _B c_1 }} {{4L^2 }}+\frac{{c_1 c_2 }} {4} = 0

\Rightarrow \omega ^4 +\omega ^2 \frac{{\frac{{4\Theta _A c_1 +\Theta _A c_2 +4\Theta _B c_1 }} {{4L^2 }}}} {{\frac{{\Theta _A \Theta _B }} {{L^4 }}}}+\frac{{\frac{{c_1 c_2 }} {4}}} {{\frac{{\Theta _A \Theta _B }} {{L^4 }}}} = 0

\Rightarrow \omega ^4 +\left( {\frac{{L^2 c_1 }} {{\Theta _A }}+\frac{{L^2 }} {{\Theta _B }} \cdot \frac{{4c_1 +c_2 }} {4}} \right)\omega ^2 +\frac{{c_1 c_2 L^4 }} {{4\Theta _A \Theta _B }} = 0

Lösung mit der pq-Formel:

\omega _{1,2}^2  = -\frac{{L^2 }} {2}\left( {\frac{{c_1 }} {{\Theta _A }}+\frac{{4c_1 +c_2 }} {{4\Theta _B }}} \right) \pm \sqrt {\frac{{L^4 }} {4}\left( {\frac{{c_1 }} {{\Theta _A }}+\frac{{4c_1 +c_2 }} {{4\Theta _B }}} \right)^2 -\frac{{c_1 c_2 L^4 }} {{4\Theta _A \Theta _B }}}