A 02 – Antwort eines Feder-Masse-Systems auf einen Dreieck-Stoß

 

Berechnen Sie die Verschiebungsantwort des Feder-Masse-Systems aus der Abbildung unter Wirkung eines Dreieckstoßes über das Duhamel-Integral.

strdyn-u2-feder-masse-schwinger-dreieckstoss

Vor dem Belastungsvorgang sei die Masse in Ruhe.

Lösung 1.2

Lösung über Differentialgleichung

Anfangsbedingungen:

x\left( 0 \right) = 0

\dot x\left( 0 \right) = 0

Stückweise lineare Funktion für die Kraft:

F\left( t \right) = {F_0} \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2t}}{{{T_S}}}}&{0 \leq t \leq \frac{{{T_S}}}{2}} \\ {2\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)}&{\frac{{{T_S}}}{2} < t \leq {T_S}} \\ 0&{t > {T_S}} \end{array}} \right.

Gesucht ist die Verschiebungsantwort. Dafür stellen wir zunächst die Bewegungsgleichung auf.

strdyn-u1-feder-masse-schwinger-freigeschnitten

Es ergibt sich als Gleichgewicht:

F\left( t \right) = cx+m\ddot x

Jetzt kommen wir zur Lösung der Differentialgleichung. Diese besteht aus homogener und partieller Lösung.

Homogener Teil:

m{\ddot x_h}+c{x_h} = 0\quad \Rightarrow \quad {x_h}\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t} \right)+B\cos \left( {\omega t} \right),\quad \omega = \sqrt {\frac{c}{m}}

Partikuläre Lösung (Ansatz vom Typ der rechten Seite) für die linke Hälfte des Stoßes:

F\left( t \right) = {F_0}\frac{{2t}}{{{T_S}}}

{x_p}\left( t \right) = a+bt,\quad {{\dot x}_p}\left( t \right) = b,\quad {{\ddot x}_p}\left( t \right) = 0

m{{\ddot x}_p}+c{x_p} = {F_0}\frac{{2t}}{{{T_S}}}

\Rightarrow \quad c\left( {a+bt} \right) = {F_0}\frac{{2t}}{{{T_S}}}

Koeffizientenvergleich bzw. die Bedingung, dass diese Gleichung für alle t gelten muss liefert:

a = 0,\quad b = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}

\Rightarrow \quad {x_p}\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}} \cdot t

Gesamtlösung:

x\left( t \right) = {x_h}\left( t \right)+{x_p}\left( t \right) = A\sin \left( {\omega t} \right)+B\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}t

Anfangsbedingungen:

x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad 0+B+0 = 0\quad \Rightarrow \quad B = 0

\dot x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad A\omega +0+\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}} = 0\quad \Rightarrow \quad A = -\frac{1}{\omega }\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}

Einsetzen ergibt:

\boxed{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left( {t-\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)} \right)} \\ {\dot x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left( {1-\cos \left( {\omega t} \right)} \right)} \end{array}}

Nun kommen wir zur rechten Hälfte des Stoßes. Hier gilt F\left( t \right) = 2{F_0}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right).

Homogene Lösung:

{x_h}\left( t \right) = A\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)+B\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)

Die partikuläre Lösung erhalten wir wieder durch den Ansatz vom Typ der rechten Seite und Koeffizientenvergleich:

m{{\ddot x}_p}+c{x_p} = 2{F_0}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)

{x_p}\left( t \right) = a+bt,\quad {{\dot x}_p}\left( t \right) = b,\quad {{\ddot x}_p}\left( t \right) = 0

\Rightarrow \quad c\left( {a+bt} \right) = 2{F_0}-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}}}t

\Rightarrow \quad a = \frac{{2{F_0}}}{c},\quad b = -\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}

\Rightarrow \quad {x_p}\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{c}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)

Gesamtlösung durch Superposition:

x\left( t \right) = {x_h}\left( t \right)+{x_p}\left( t \right) = A\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)+B\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)+\frac{{2{F_0}}}{c}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)

Übergangsbedingungen für t = \frac{{{T_S}}}{2}:

x\left( {\frac{{{T_S}}}{2}} \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left[ {\frac{{{T_S}}}{2}-\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right]\mathop = \limits^! A \cdot 0+B+\frac{{{F_0}}}{c} = B+\frac{{{F_0}}}{c}

\Rightarrow \quad B = -\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\frac{1}{\omega }\sin \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)

\dot x\left( {\frac{{{T_S}}}{2}} \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left[ {1-\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right]\mathop = \limits^! A\omega -\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}

\Rightarrow \quad A = \frac{1}{\omega }\frac{{4{F_0}}}{{c{T_S}}}-\frac{1}{\omega }\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)

Wir setzen nun die beiden Konstanten in die Lösung ein:

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}\omega }}\left[ {2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

-\frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\sin \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)+\frac{{2{F_0}}}{c}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)

Zur Vereinfachung der Gleichung wenden wir nun noch ein Additionstheorem an:

\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta

\alpha = \omega \left( {t-\frac{{{{\rm T}_S}}}{2}} \right)\quad ;\quad \beta = \omega \frac{{{T_s}}}{2}

Damit erhalten wir schließlich:

\boxed{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega t} \right)} \right]+\frac{{2{F_0}}}{c}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)} \\ {\dot x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left[ {2\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega t} \right)} \right]-\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}} \end{array}}

Als letztes brauchen wir noch die Lösung für den Zeitbereich nach dem Stoß. Hier gilt:

F\left( t \right) = 0

x\left( t \right) = A\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)+B\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)

\dot x\left( t \right) = \omega A\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\omega B\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)

Übergangsbedingungen bei t = {T_S}:

x\left( {{T_s}} \right) = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\sin \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)-\sin \left( {\omega {T_S}} \right)} \right]\mathop = \limits^! B

\dot x\left( {{T_s}} \right) = \frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\left[ {2\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)-\cos \left( {\omega {T_S}} \right)} \right]-\frac{{2{F_0}}}{{c{T_S}}}\mathop = \limits^! \omega A

\Rightarrow \quad A = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)-\cos \left( {\omega {T_S}} \right)-1} \right]

Einsetzen in die Lösung:

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\cos \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)-\cos \left( {\omega {T_S}} \right)-1} \right]\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)+

+\frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\sin \left( {\omega \frac{{{T_S}}}{2}} \right)-\sin \left( {\omega {T_S}} \right)} \right]\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)

Mit Hilfe von Additionstheoremen vereinfachen wir zu:

\boxed{x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega t} \right)} \right]}

Lösung mit Duhamel-Integral

Erweitertes Duhamel-Integral:

x\left( t \right) = \frac{{{{\dot x}_0}}}{\omega }\sin \left( {\omega t} \right)+{x_0}\cos \left( {\omega t} \right)+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {F\left( \tau \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Bereich 0 \leq t \leq \frac{{{T_S}}}{2}:

F\left( \tau \right) = \frac{{2{F_0}\tau }}{{{T_S}}}

x\left( 0 \right) = 0\quad ;\quad \dot x\left( 0 \right) = 0

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^t {2{F_0}\frac{\tau }{{{T_S}}}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

Mit \int {x\sin \left( {ax} \right)dx} = \frac{{\sin \left( {ax} \right)}}{{{a^2}}}-\frac{{x\cos \left( {ax} \right)}}{a} erhalten wir:

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{{{\omega ^2}}}+\frac{{\tau \cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{\omega }} \right]_0^t

\Rightarrow \quad x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{t}{\omega }-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{{{\omega ^2}}}} \right]\mathop = \limits^{m{\omega ^2} = c} \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}c}}\left( {t-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right)

Bereich \frac{{{T_S}}}{2} < t \leq {T_S}:

F\left( \tau \right) = 2\left( {1-\frac{\tau }{{{T_S}}}} \right){F_0}

x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^{\frac{{{T_S}}}{2}} {2{F_0}\frac{\tau }{{{T_S}}}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_{\frac{{{T_S}}}{2}}^t {\left[ {2{F_0}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}}}\tau \sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)} \right]d\tau }

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{{{\omega ^2}}}+\frac{{\tau \cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{\omega }} \right]_0^{\frac{{{T_S}}}{2}}

+\frac{{2{F_0}}}{{m\omega }}\left[ {\frac{1}{\omega }\cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)} \right]_{\frac{{{T_S}}}{2}}^t

-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{{{\omega ^2}}}+\frac{{\tau \cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{\omega }} \right]_{\frac{{{T_S}}}{2}}^t

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_s}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }+\frac{{{T_S}}}{2}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]

+\frac{{2{F_0}}}{{m{\omega ^2}}}\left[ {1-\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {t-\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }-\frac{{{T_S}}}{2}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}c}}\left[ {\frac{{2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }+{T_S}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]

+\frac{{2{F_0}}}{c}\left[ {1-\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}c}}t

Durch zusammenfassen der übrigen Terme folgt darauf wie erwartet:

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}c\omega }}\left[ {2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega t} \right)} \right]+\frac{{2{F_0}}}{c}\left( {1-\frac{t}{{{T_S}}}} \right)

Bereich t > {T_S}:

F\left( \tau \right) = 0

x\left( t \right) = \frac{1}{{m\omega }}\int\limits_0^{\frac{{{T_S}}}{2}} {2{F_0}\frac{\tau }{{{T_S}}}\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_{\frac{{{T_S}}}{2}}^{{T_S}} {2{F_0}\left( {1-\frac{\tau }{{{T_S}}}} \right)\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

+\frac{1}{{m\omega }}\int\limits_{{T_S}}^t {0 \cdot \sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)d\tau }

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{{{\omega ^2}}}+\frac{{\tau \cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{\omega }} \right]_0^{\frac{{{T_S}}}{2}}

+\frac{{2{F_0}}}{{m\omega }}\left[ {\frac{1}{\omega }\cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)} \right]_{\frac{{{T_S}}}{2}}^{{T_S}}

-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m\omega }}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{{{\omega ^2}}}+\frac{{\tau \cos \left( {\omega \left( {t-\tau } \right)} \right)}}{\omega }} \right]_{\frac{{{T_S}}}{2}}^{{T_S}}

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_s}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }+\frac{{{T_S}}}{2}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]

+\frac{{2{F_0}}}{{m{\omega ^2}}}\left[ {\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)}}{\omega }+{T_S}\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }-\frac{{{T_S}}}{2}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_s}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }+{T_S}\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]

+\frac{{2{F_0}}}{{m{\omega ^2}}}\left[ {\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)-\cos \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)} \right]

-\frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)}}{\omega }+{T_S}\cos \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)} \right]

\Downarrow

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{{T_S}m{\omega ^2}}}\left[ {\frac{{2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_s}}}{2}} \right)} \right)}}{\omega }-\frac{{\sin \left( {\omega \left( {t-{T_S}} \right)} \right)}}{\omega }-\frac{{\sin \left( {\omega t} \right)}}{\omega }} \right]

Eine letzte Umformung ergibt schließlich wieder:

x\left( t \right) = \frac{{2{F_0}}}{{\omega c{T_S}}}\left[ {2\sin \left( {\omega \left( {t-\frac{{{T_S}}}{2}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega \left( {t-{{\rm T}_S}} \right)} \right)-\sin \left( {\omega t} \right)} \right]

\mathcal{S}\mathcal{W}\& \mathcal{J}\mathcal{K}