8.4 – Approximation der Temperaturverteilung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

Lokal werden die Knotenpunkttemperaturen betrachtet:

\left\{{\hat \theta } \right\} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\theta _1}}&{{\theta _2}}& \ldots &{{\theta _n}} \end{array}} \right\} (n-Knoten-Element)

\Rightarrow \quad \theta \left( {x,y,z} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H_{1\theta }}\left( {x,y,z} \right)}&{{H_{2\theta }}\left( {x,y,z} \right)}& \ldots &{{H_{n\theta }}\left( {x,y,z} \right)} \end{array}} \right]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\theta _1}} \\ \vdots \\ {{\theta _n}} \end{array}} \right\}

\Rightarrow \quad {\theta ^m} = \left[ {H_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\},\quad \quad \delta {\theta ^m} = \left[ {H_\theta ^m} \right]\left\{{\delta \vartheta } \right\}

mit dem Vektor aller Knotenpunkttemperaturen

{\left\{ \vartheta \right\}^T} = \left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\theta _1}}&{{\theta _2}}& \ldots &{{\theta _N}} \end{array}} \right\} (insgesamt N Knoten)

Die Temperaturinterpolationsmatrix \left[ {H_\theta ^m} \right] beinhaltet die Ansatzfunktionen des Elements „m“ an der entsprechenden Stelle.

Temperaturgradient des m-ten Elements:

\left\{{{g^m}} \right\} = \left[ D \right]\theta = \left[ D \right]\left[ {H_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\} = \left[ {B_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\}

bzw.

\left\{{\delta {g^m}} \right\} = \left[ D \right]\delta \theta = \left[ D \right]\left[ {H_\theta ^m} \right]\left\{{\delta \vartheta } \right\} = \left[ {B_\theta ^m} \right]\left\{{\delta \vartheta } \right\}

mit \left[ {B_\theta ^m} \right] = \left[ D \right]\left[ {H_\theta ^m} \right].

Einsetzen ins Prinzip der virtuellen Temperaturen

Schritt 1

\int\limits_V {\rho {c_V}\delta \theta \dot \theta dV} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {\rho {c_V}\delta {\theta ^m}{{\dot \theta }^m}d{V^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}\rho {c_V}\left[ {H_\theta ^m} \right]\left\{{\dot \vartheta } \right\}d{V^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}\left[ {{C^m}} \right]\left\{{\dot \vartheta } \right\}}

mit der Elementkapazitätsmatrix

\left[ {{C^m}} \right] = \int\limits_{{V^m}} {{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}\rho {c_V}\left[ {H_\theta ^m} \right]d{V^m}}.

Schritt 2

\int\limits_V {{{\left\{{\delta g} \right\}}^T}\left\{ g \right\}\lambda dV} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{{\left\{{\delta {g^m}} \right\}}^T}\lambda \left\{ g \right\}d{V^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}{{\left[ {B_\theta ^m} \right]}^T}\lambda \left[ {B_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\}d{V^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}\left[ {k_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\}}

mit der Elementkonduktionsmatrix

\left[ {k_\theta ^m} \right] = \int\limits_{{V^m}} {{{\left[ {B_\theta ^m} \right]}^T}\lambda \left[ {B_\theta ^m} \right]d{V^m}}.

Schritt 3

\int\limits_V {\rho r\delta \theta dV} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {\rho r{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}d{V^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}\left\{{f_r^m} \right\}}

mit dem Lastvektor der Wärmequellen

\left\{{f_r^m} \right\} = \int\limits_{{V^m}} {\rho r{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}d{V^m}}.

Anmerkung: Je nach Wärmequellenverteilung r kann auch hier eine Approximation notwendig werden (z.B. r = \left[ H \right]\left\{{\hat r} \right\}).

Schritt 4

\int\limits_A {\lambda \delta \theta {{\left\{ g \right\}}^T}\left\{ u \right\}dA} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{A^m}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}\lambda {{\left\{ g \right\}}^T}\left\{ u \right\}d{A^m}} }

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {{{\left\{{\delta \vartheta } \right\}}^T}\left\{{f_q^m} \right\}}

mit dem Lastvektor der Oberflächenwärmeströme

\left\{{f_q^m} \right\} = \int\limits_{{A^m}} {{{\left[ {H_\theta ^m} \right]}^T}\lambda {{\left\{ g \right\}}^T}\left\{ u \right\}d{A^m}}.

Insgesamt erhalten wir:

{\left\{{\delta \vartheta } \right\}^T}\left[ {\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left( {-\left[ {k_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\}-\left[ {{C^m}} \right]\left\{{\dot \vartheta } \right\}+\left\{{f_q^m} \right\}+\left\{{f_r^m} \right\}} \right)} } \right] = 0

Wegen der Beliebigkeit der virtuellen Knotenpunkttemperaturen folgt weiterhin

\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left( {-\left[ {k_\theta ^m} \right]\left\{ \vartheta \right\}-\left[ {{C^m}} \right]\left\{{\dot \vartheta } \right\}+\left\{{f_q^m} \right\}+\left\{{f_r^m} \right\}} \right)} = 0

\Rightarrow \quad \left[ C \right]\left\{{\dot \vartheta } \right\}+\left[ {{K_\theta }} \right]\left\{ \vartheta \right\} = \left\{{{f_q}} \right\}+\left\{{{f_r}} \right\}

mit der Gesamtkapazitätsmatrix

\left[ C \right] = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {{C^m}} \right]},

der Gesamtkonduktivitätsmatrix

\left[ {{K_\theta }} \right] = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {k_\theta ^m} \right]},

dem Gesamtlastvektor der Wärmequellen

\left\{{{f_r}} \right\} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left\{{f_r^m} \right\}},

und dem Gesamtlastvektor der Oberflächenwärmeströme

\left\{{{f_q}} \right\} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left\{{f_q^m} \right\}}.