06 – äquivalente Normen

 

Definition:

Sei E ein linearer Raum mit zwei Normen

{\left\|  \cdot  \right\|_1},{\left\|  \cdot  \right\|_2}

Wenn gilt:

\exists c > 0,C > 0:c{\left\| x \right\|_1} \leq {\left\| x \right\|_2} \leq C{\left\| x \right\|_1}

dann heißt die beiden Normen äquivalent.

Bemerkung:

Ist {\left\{ {{x_\nu }} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}} eine konvergente Folge (Cauchy-Folge) bezüglich {\left\|  \cdot  \right\|_1}, dann ist die Folge auch konvergent bezüglich {\left\|  \cdot  \right\|_2}

Satz: Alle Normen auf {\mathbb{R}^n},{\mathbb{C}^n} sind äquivalent.

Beispiel:

In {\mathbb{R}^2} können wir für x = \left( {{x_1},{x_2}} \right) zum Beispiel die folgenden drei Normen definieren:

{\left\| x \right\|_1} = \left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|

{\left\| x \right\|_2} = \sqrt {x_1^2+x_2^2}

{\left\| x \right\|_\infty } = \max \left\{ {\left| {{x_1}} \right|,\left| {{x_2}} \right|} \right\}

Die Normen sind äquivalent, da gilt:

{\left\| x \right\|_\infty } \leq 1 \cdot {\left\| x \right\|_1} \leq 2 \cdot {\left\| x \right\|_\infty }

1 \cdot {\left\| x \right\|_\infty } \leq {\left\| x \right\|_2} \leq \sqrt 2  \cdot {\left\| x \right\|_\infty }

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