Aufgabe 2.1 – Äquivalentes diskretes Regelgesetz

 

Gegeben Sei ein kontinuierlicher Regler mit der Übertragungsfunktion

C\left( s \right) = V\frac{{s+a}}{{s+b}}

  1. Bestimmen Sie das näherungsweise äquivalente diskrete Regelgesetz (Differenzengleichung für die Stellgröße) gemäß der Tustin-Methode (Trapezregel).
  2. Vergleichen Sie das resultierende diskrete Regelgesetz mit dem diskreten Regelgesetz, das mit Hilfe der “Vorwärts-Euler”-Methode berechnet wurde (siehe Vorlesung).

Hinweis: Linearisieren Sie für den Vergleich die T-abhängigen Koeffizienten für kleine Werte der Abtastzeit T.

Lösung 2.1

a)

s \to \frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}

C\left( z \right) = V\frac{{\frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}+a}}{{\frac{2}{T}\frac{{z-1}}{{z+1}}+b}} = V\frac{{\frac{{2\left( {z-1} \right)+aT\left( {z+1} \right)}}{{T\left( {z+1} \right)}}}}{{\frac{{2\left( {z-1} \right)+bT\left( {z+1} \right)}}{{T\left( {z+1} \right)}}}} = V\frac{{2\left( {z-1} \right)+aT\left( {z+1} \right)}}{{2\left( {z-1} \right)+bT\left( {z+1} \right)}} = \frac{{U\left( z \right)}}{{E\left( z \right)}}

Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner. Bei der Rücktransformation in den Zeitbereich beachten wir, dass z ein Verschiebungsoperator ist:

\left[ {2\left( {z-1} \right)+bT\left( {z+1} \right)} \right]U\left( z \right) = V\left[ {2\left( {z-1} \right)+aT\left( {z+1} \right)} \right]E\left( z \right)

\:\:\: \bullet - \circ \:\:\:

2{u_{k+1}}-2{u_k}+bT{u_{k+1}}+bT{u_k} = V\left( {2{e_{k+1}}-2{e_k}+aT{e_{k+1}}+aT{e_k}} \right)

Nun lösen wir nach {u_{k+1}} auf:

\Rightarrow \quad {u_{k+1}}\left( {2+bT} \right)+{u_k}\left( {bT-2} \right) = {e_{k+1}}\left( {2V+aTV} \right)+{e_k}\left( {-2V+aTV} \right)

\Rightarrow \quad {u_{k+1}} = \frac{{2-bT}}{{2+bT}}{u_k}-V\frac{{2-aT}}{{2+bT}}{e_k}+V\frac{{2+aT}}{{2+bT}}{e_{k+1}}

\Rightarrow \quad {u_{k+1}} = \frac{{1-\frac{b}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{u_k}-V\frac{{1-\frac{a}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{e_k}+V\frac{{1+\frac{a}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{e_{k+1}}

b)

Zum Vergleich das diskrete Regelgesetz zu C\left( s \right) mit “Vorwärts-Euler” aus der Vorlesung:

{u_{k+1}} = \left( {1-bT} \right){u_k}-V\left( {1-aT} \right){e_k}+V{e_{k+1}}

Für kleine T erhalten wir:

{u_{k+1}} = {u_k}-V{e_k}+V{e_{k+1}}

Aus Aufgabenteil a) erhalten wir:

{u_{k+1}} = \frac{{1-\frac{b}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{u_k}-V\frac{{1-\frac{a}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{e_k}+V\frac{{1+\frac{a}{2}T}}{{1+\frac{b}{2}T}}{e_{k+1}}\quad |T \ll 1

\Rightarrow \quad {u_{k+1}} = {u_k}-V{e_k}+V{e_{k+1}}

Die beiden Regelgesetze stimmen also für kleine T überein.