02 – Äquivalenzrelationen

 

Ist F ein Untervektorraum (Unterraum) von E, dann kann man auf E die Relation

x \sim y\quad  \Leftrightarrow \quad \left( {x-y} \right) \in F

definieren. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation, da für beliebige x,y,z \in E gilt:

Reflexivität: x \sim x

Symmetrie: x \sim y\quad  \Leftrightarrow \quad y \sim x

Transitivität: x \sim y,\quad y \sim z\quad  \Rightarrow \quad x \sim z

Hier soll nun noch kurz erklärt werden, wie es zur Transitivität kommt.

Eine Bedingung für einen Unterraum F ist:

a \in F,\quad b \in F\quad  \Rightarrow \quad a+b \in F

Angewendet auf die Definition der Äquivalenzrelation folgt die Transitivität:

\left( {x-y} \right) \in F,\quad \left( {y-z} \right) \in F\quad  \Rightarrow \quad \left( {x-y} \right)+\left( {y-z} \right) = \left( {x-z} \right) \in F

Beispiel

Die Menge der Autos auf einem Parkplatz kann nach Farbe in disjunkte Teilmengen aufgeteilt werden. Zwei Autos gleicher Farbe sind dann bezüglich der Farbe äquivalent.

Die Menge aller zu einem festen Element x \in E äquivalenten Elemente x^{\prime} heißt Äquivalenzklasse von x, geschrieben \left[ x \right]. Also gilt:

\left[ x \right] = \left\{ {x^{\prime} \in E:x^{\prime} \sim x} \right\} = \left\{ {x^{\prime} \in E:x^{\prime}-x \in F} \right\} = x+F

Die letzte Umformung ist möglich, da gilt:

x+F = \left\{ {x+f:x+f-x \in F} \right\} = \left\{ {x+f:f \in F} \right\}

Beispiel

Seien zwei Autos gleicher Farbe äquivalent. Dann sind die Äquivalenzklassen die Mengen der Autos mit der gleichen Farbe:
Klasse der roten Autos = {rotes Auto 1, rotes Auto 2, …}
Klasse der grünen Autos = {grünes Auto 1, …}

Satz

Sei E ein linearer Raum, E \subset F ein Untervektorraum. Die Menge aller Äquivalenzklassen

E/F: = \left\{ {\left[ x \right]:x \in E} \right\}

ist auch ein linearer Raum, der sogenannte Quotientenraum von E nach F mit der Addition

\left[ x \right]+\left[ y \right]: = \left[ {x+y} \right]

und der skalaren Multiplikation

\alpha \left[ x \right]: = \left[ {\alpha x} \right]

Das Nullelement in E/F ist \left[ 0 \right] = F, da \left[ x \right] = x+F\quad  \Rightarrow \quad \left[ 0 \right] = 0+F

Beispiel 1

Wenn Autos nach ihrer Farbe äquivalent zueinander sind, wird je eine Äquivalenzklasse durch die Menge aller Autos einer Farbe gebildet.

Beispiel 2

Sei E = {\mathbb{R}^3} und F eine feste Ebene durch 0 = \left( {0,0,0} \right) \in {\mathbb{R}^3}

Dann ist E / F die Menge aller zu F parallelen Ebenen.

Beispiel 3

Sei E = {M_\infty }\left[ {0,1} \right] die Menge aller komplexwertigen, Lebesque-messbaren Funktionen auf \left[ {0,1} \right].

Dann ist E ein linearer Raum.
Sei F = {M_\infty }^0\left[ {0,1} \right] die Teilmenge der fast überall verschwindenen Funktionen auf \left[ {0,1} \right].

Damit ist \left[ f \right] Die Menge aller Funktionen g \in {M_\infty }\left[ {0,1} \right], für die fast überall gilt: g\left( t \right) = f\left( t \right)

Der Quotientenraum ist dann:

{M_\infty }\left[ {0,1} \right]/{M_\infty }^0\left[ {0,1} \right] = :{L_\infty }\left[ {0,1} \right]