03.1 – Ariane 5, Parallelstufung

 

Die Ariane 5-Rakete (Kickstufe inklusive Nutzlast, Zentralstufe und zwei Booster, Nutzlastverkleidung) soll als Nutzlast eine Sonde zum Mars transportieren. Zunächst sind die zwei Feststoffbooster parallel zur Zentralstufe für 123s in Betrieb (vollständige Treibstoffumsetzung) und werden danach abgeworfen. 184s nach dem Start, also während der zweiten Flugphase (Betrieb nur der Zentralstufe), wird die Nutzlastverkleidung abgetrennt. In der letzten Phase des Fluges wird die Sonde mit Hilfe der Kickstufe auf eine Transferbahn zum Mars gebracht. Die Massenflüsse und effektiven Austrittsgeschwindigkeiten der Triebwerke sollen jeweils als konstant angenommen werden. Berechnen Sie den Raketenaufstieg unter Idealannahmen ohne Aufstiegsverluste!

Technische Daten der Ariane 5 Rakete:

Struktur und Motorenmasse eines Boosters: {m_{SM,B}}=35t

Treibstoffmasse eines Boosters: {m_{T,B}}=230t

Spezifischer Impuls eines Boosters: {I_{s,B}}=273s

Struktur und Motorenmasse der Zentralstufe: {m_{SM,ZS}}=15t

Treibstoffmasse der Zentralstufe: {m_{T,ZS}}=155t

Massenstrom des Zentralstufentriebwerks: {\dot m_{ZS}}=262,7\frac{kg}{s}

eff. Austrittsgeschwindigkeit des Zentralstufentriebwerks: {c_{e,ZS}}=4.227\frac{m}{s}

Masse der Nutzlastverkleidung: {m_{NV}}=2,9t

Struktur-und Motorenmasse der Kickstufe: {m_{SM,KS}}=1,5t

Massenstrom des Kickstufentriebwerks: {\dot m_{KS}}=8,5\frac{kg}{s}

Schub des Kickstufentriebwerks: {F_{KS}}=28.000n

Masse der Sonde: {m_S}=4,0t

a )

Welche und wie viele Triebwerke sind in welcher Phase des Aufstiegs in Betrieb?

b )

Berechnen Sie die Treibstoffmasse der Kickstoffe für den Fall, dass ein charakteristischer Geschwindigkeitsbedarf von 4.900\frac{m}{s} für die Kickstufe benötigt wird. Wie groß ist die Gesamtmasse der Rakete?

c )

Wie groß ist der Startschub der Rakete und welche charakteristische Geschwindigkeit hat die Rakete nach dem Brennschluss der Booster erreicht?

d )

Wie groß ist die charakteristische Geschwindigkeit bei Brennschluss der Zentralstufe?

Lösung

a )

Die erste Teilaufgabe ist direkt aus dem Aufgabentext abzuschreiben und sollte kein größeres Problem darstellen. Man geht Phasenweise vor.

1. Phase:

Für 123 s ab dem Start sind 2 Feststoffbooster parallel zur Zentralstufe im Betrieb. Im Übergang zur Phase 2, also nachdem der gesamte Treibstoff in den Boostern verbraucht ist, werden sie abgeworfen. Die Phase 1 dauert also genau 123s an: {t_1}=123s

2. Phase:

Die zweite Phase bezeichnet den gesamten Betrieb der Zentralstufe, ohne die Booster und ohne die darauf folgende Kickstufe (3. Phase). Das bedeutet, dass die zweite Phase in der 123s nach dem Start und nach dem Booster-Abwurf beginnt, und mit dem Erlöschen der Zentralstufe und der gleichzeitigen Zündung der Kickstufe endet. Der genaue Endzeitpunkt der zweiten Phase kann mit Hilfe der Brennschlusszeit der Zentralstufe bestimmt werden. Bekannt ist nämlich aus der Aufgabenstellung die Treibstoffmasse des Zentralstufentriebwerks {m_{T,ZS}} und der Massenstrom {\dot m_{ZS}}. Daraus folgt für die Brennschlusszeit des Zentralstufentriebwerks:

{t_{B,ZS}}=\frac{{{m_{T,ZS}}}}{{{{\dot m}_{ZS}}}}=\frac{{155000kg}}{{262,2\frac{kg}{s}}}\approx 590s

Das bedeutet, dass 590s nach dem Start die zweite Phase beendet ist, beziehungsweise Phase 2 genau {t_2}={t_{B,ZS}}-{t_1}=590s-123s=467s andauert. Zu beachten ist, dass nach 184s die Nutzlastverkleidung abgeworfen wird.

3. Phase:

Ab der 590. Sekunde nach dem Start, bzw. 476 Sekunden nach Beginn der zweiten Phase wird nur noch die Kickstufe betrieben, was auch als dritte Phase bezeichnet wird.

b )

Gegeben:

Charakteristischer Geschwindigkeitsbedarf für die Kickstufe: \Delta{v_{KS}}=4900\frac{m}{s}

Struktur- und Motorenmasse der Kickstufe: {m_{SM,KS}}=1,5t

Masse der Sonde: {m_S}=4,0t

Schub des Kickstufentriebwerks: {F_{KS}}=28.000n

Massenstrom des Kickstufentriebwerks: {\dot m_{KS}}=8,5\frac{kg}{s}

Struktur- und Motorenmasse eines Boosters: {m_{SM,B}}=35t

Treibstoffmasse eines Boosters: {m_{T,B}}=230t

Struktur- und Motorenmasse der Zentralstufe: {m_{SM,ZS}}=15t

Treibstoffmasse der Zentralstufe: {m_{T,ZS}}=155t

Masse der Nutzlastverkleidung: {m_{NV}}=2,9t

Gesucht:

Treibstoffmasse der Kickstufe: {m_{T,KS}}

Gesamtmasse der Rakete: {m_0}

Aus der Ziolkowsky-Gleichung folgt für die dritte Phase:

\Delta{v_{KS}}={c_{e,KS}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,3}}}}{{{m_{B,3}}}}}\right)=\frac{{{F_{KS}}}}{{{{\dot m}_{KS}}}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_S}+{m_{SM,KS}}+{m_{T,KS}}}}{{{m_S}+{m_{SM,KS}}}}}\right)

Nach {m_{T,KS}} umgestellt ergibt sich:

{m_{T,KS}}=\left({{e^{\frac{{\Delta{v_{KS}}\cdot{{\dot m}_{KS}}}}{{{F_{KS}}}}}}-1}\right)\cdot\left({{m_S}+{m_{SM,KS}}}\right)

=\left({{e^{\frac{{4900\frac{m}{s}\cdot 8,5\frac{{kg}}{s}}}{{28000N}}}}-1}\right)\cdot\left({4000kg+1500kg}\right)=\underline{\underline{18,84t}}

Damit ergibt sich für die ursprüngliche Gesamtmasse {m_0} der Rakete:

{m_0}=\underbrace{2\cdot\left({{m_{SM,B}}+{m_{T,B}}}\right)}_{2x{\text{}}Boostermasse}+\underbrace{{m_{SM,ZS}}+{m_{T,ZS}}}_{Zentralstufe}+\underbrace{{m_{SM,KS}}+{m_{T,KS}}}_{Kickstufe}+\underbrace{{m_S}+{m_{NV}}}_{Sonstiges}

\quad=2\cdot\left({35t+230t}\right)+15t+155t+1,5t+18,84t+4t+2,9t=\underline{\underline{727,24t}}

c )

Gegeben:

Massenstrom des Zentralstufentriebwerks: {\dot m_{ZS}}=262,7\frac{kg}{s}

Eff. Austrittsgeschwindigkeit des Zentralstufentriebwerks: {c_{e,ZS}}=4.227\frac{m}{s}

Spezifischer Impuls eines Boosters: {I_{s,B}}=273s

Treibstoffmasse eines Boosters: {m_{T,B}}=230t

Brennschlusszeit der Boostertriebwerke: {t_{B,B}}=123s

Gesucht:

Startschub der Rakete: {F_{ges}}

Charakteristische Geschwindigkeit bei Brennschluss der Booster: \Delta{v_1}

Beim Startschub der Rakete spielen sowohl der Booster als auch das Triebwerk der Hauptstufe eine Rolle (1. Phase). Aus diesem Grund müssen die Einzelschübe dieser Triebwerke addiert werden.

Für das Triebwerk der Zentralstufe gilt:

{F_{ZS}}={\dot m_{ZS}}\cdot{c_{e,ZS}}=262,7\frac{{kg}}{s}\cdot 4227\frac{m}{s}=1,110MN

Für eines der beiden Boostertriebwerke ergibt sich ein Schub von:

{F_B}={c_{e,B}}\cdot{\dot m_B}={I_{s,B}}\cdot{g_0}\cdot{\dot m_B}={I_{s,B}}\cdot{g_0}\cdot\frac{{{m_{T,B}}}}{{{t_{B,B}}}}

=273s\cdot 9,81\frac{m}{{{s^2}}}\cdot\frac{{230000}}{{123s}}=5,008MN

Für den gesamten Startschub ergibt sich damit:

{F_{Ges}}={F_{ZS}}+2\cdot{F_B}=1,110MN+2\cdot 5,008NM=\underline{\underline{11,126MN}}

Um die charakteristische Geschwindigkeit der ersten Phase \Delta{v_1} berechnen zu können, muss man die effektive Austrittsgeschwindigkeit aller drei Triebwerke, die in der ersten Phase in Betrieb sind, {c_{e,1.Phase}} kennen.

Zunächst ist dafür der gesamten Massenstrom der Triebwerke in Phase 1 {\dot m_{Ges}} zu bestimmen.

{\dot m_{Ges}}=2\cdot{\dot m_B}+{\dot m_{ZS}}=2\cdot\frac{{{m_{T,B}}}}{{{t_{B,B}}}}+{\dot m_{ZS}}=2\cdot\frac{{230000kg}}{{123s}}+262,7\frac{{kg}}{s}=4003\frac{{kg}}{s}

Damit gilt für die effektive Austrittsgeschwindigkeit {c_{e,1.Phase}}:

{c_{e,1.Phase}}=\frac{{{F_{Ges}}}}{{{{\dot m}_{Ges}}}}=\frac{{11,126MN}}{{4003\frac{{kg}}{s}}}=2780\frac{m}{s}

Damit folgt für die charakteristische Geschwindigkeit der ersten Phase \Delta{v_1}, die eine Zeitdauer von {t_1}=123s hat

\Delta{v_1}={c_{e,1.Phase}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_{B1}}}}}\right)={c_{e,1.Phase}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-{{\dot m}_{Ges}}\cdot{t_1}}}}\right)

=2780\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{727240kg}}{{727240kg-4003\frac{{kg}}{s}\cdot 123s}}}\right)\,\approx\underline{\underline{3142\frac{m}{s}}}

d )

Gegeben:

Charakteristische Geschwindigkeit der ersten Phase: \Delta{v_1}=3142\frac{m}{s}

Starmasse der Rakete: {m_0}=727,24t

Gesamtmassendurchsatz in Phase 1: {\dot m_{Ges}}=4003\frac{{kg}}{s}

Strukturmasse eines Boosters: {m_{SM,B}}=35t

Eff. Austrittsgeschwindigkeit des Zentralstufentriebwerk: {c_{e,ZS}}=4.227\frac{m}{s}

Massenstrom des Zentralstufentriebwerks: {\dot m_{ZS}}=262,7\frac{kg}{s}

Masse der Nutzlastverkleidung: {m_{NV}}=2,9t

Gesucht:

Charakteristische Geschwindigkeit bei Brennschluss der Zentralstufe v\left({{t_{B,ZS}}}\right).

Der Brennschluss der Zentralstufe wird zeitgleich mit dem Ende der zweiten Phase erreicht. Das bedeutet, dass die charakteristische Geschwindigkeit bei Brennschluss der Zentralstufe \Delta v\left({{t_{B,ZS}}}\right) sich aus den charakteristischen Geschwindigkeiten von Phase 1\Delta{v_1} und der charakteristischen Geschwindigkeit der zweiten Phase \Delta{v_2} zusammensetzt:

\Delta v\left({{t_{B,ZS}}}\right)=\Delta{v_1}+\Delta{v_2}

Zu Beachten ist, dass die charakteristische Geschwindigkeit der zweiten Phase aus zwei Teilen besteht. Dem Anteil, der bis zum Abtrennen der Nutzlastverkleidung besteht, und dem Anteil, der anschließend bis zum Brennschluss der Zentralstufe besteht.

Für die Startmasse in der zweiten Phase {m_{0,2}} gilt:

{m_{0,2}}={m_0}-{{\dot m}_{Ges}}\cdot{t_1}-2\cdot{m_{SM,B}}

=727240kg-4003\frac{{kg}}{s}\cdot 123s-2\cdot 35000kg=164871kg

Damit ergibt sich mit der Ziolkowsky-Gleichung für den ersten Abschnitt der zweiten Phase die charakteristische Geschwindigkeit. Die Dauer der Phase 2 bis es zum Absprengen der Nutzlastverteilung kommt, sei \Delta{t_{2,1}}. Ihr Betrag kann dem Aufgabentext entnommen werden. Es ergibt sich:

\Delta{t_{2,1}}=184s-123s=61s

\Delta{v_{2,1}}={c_{e,SZ}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,2}}}}{{{m_{0,2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,1}}}}}\right)

=4227\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{164871kg}}{{164871kg-262,7\frac{{kg}}{s}\cdot 61s}}}\right)=432,2\frac{m}{s}

Für den zweiten Abschnitt in Phase 2, vor dem die Nutzlastverkleidung abgesprengt wird, bis zum Ende von Phase 2, dem Brennschluss des Zentralstufentriebwerkes, kann zur Ermittlung der charakteristischen Geschwindigkeit \Delta{v_{2,2}} ebenfalls die Ziolkowsky-Gleichung verwendet werden.

Im zweiten Abschnitt der Phase 2 ist bei Brennschluss der gesamte Treibstoff der Zentralstufe verbrannt. Die gesamte Brenndauer der Phase 2 \Delta{t_2} ergibt sich aus dem Aufgabentext.

\Delta{t_2}={t_{P{h_2}}}=590s-123s=467s.

\Delta{v_{2,2}}={c_{e,ZS}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,2.2}}}}{{{m_{0,2.2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,2}}}}}\right)

={c_{e,ZS}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_{0,2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,1}}-{m_{NV}}}}{{{m_{0,2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,1}}-{m_{NV}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,2}}}}}\right)

=\ln\left({\frac{{{m_{0,2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_{2,1}}-{m_{NV}}}}{{{m_{0,2}}-{{\dot m}_{ZS}}\cdot\Delta{t_2}-{m_{NV}}}}}\right)

=4227\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{164871kg-262,7\frac{{kg}}{s}\cdot 61s-2900kg}}{{164871kg-262,7\frac{{kg}}{s}\cdot 467s-2900kg}}}\right)

\approx 5547\frac{m}{s}

Damit ergibt sich für die charakteristische Geschwindigkeit bei Brennschluss der Zentralstufe:

v\left({{t_{B,ZS}}}\right)=\Delta{v_1}+\Delta{v_2}=\Delta{v_1}+\Delta{v_{2,1}}+\Delta{v_{2,2}}=3142\frac{m}{s}+432,2\frac{m}{s}+5547\frac{m}{s}

=\underline{\underline{9121\frac{m}{s}}}

\mathcal{T}\mathcal{H}