Aufgabe 4.2 – Asymptotische Stabilität

 
  1. Gegeben ist das zeitdiskrete System

    {\vec x_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ 0&1 \end{array}} \right){\vec x_k}

    Für welche Werte des Parameters a ist die Ruhelage {\vec x_R} = 0 asymptotisch stabil?

  2. Gegeben ist das zeitdiskrete System

    {\vec x_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\alpha \\ {-1}&1 \end{array}} \right){\vec x_k}

    Für welche Werte des Parameters \alpha ist die Ruhelage {\vec x_R} = 0 asymptotisch stabil?

Lösung

Damit die Ruhelage asymptotisch stabil ist, muss für alle Eigenwerte der diskreten Systemmatrix gelten:

\left| {{\lambda _i}\left( {{A_d}} \right)} \right|\mathop < \limits^! 1

a)

Zur Bestimmung der Eigenwerte verwenden wir das charakteristische Polynom:

\left( {\lambda I-{A_d}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda -1}&{-a} \\ 0&{\lambda -1} \end{array}} \right) = {\left( {\lambda -1} \right)^2}\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = 1\quad \Rightarrow \quad \left| {{\lambda _i}\left( {{A_d}} \right)} \right| = 1

Das betrachtete System ist also für keinen Wert von a asymptotisch stabil.

b)

Die Lösung erfolgt analog zu Teilaufgabe a):

\left( {\lambda I-{A_d}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda -1}&{-\alpha } \\ 1&{\lambda -1} \end{array}} \right) = {\left( {\lambda -1} \right)^2}+\alpha \mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {\lambda ^2}-2\lambda +1+\alpha = 0

\Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = 1 \pm \sqrt {-\alpha }

\Rightarrow \quad \left| {{\lambda _1}\left( {{A_d}} \right)} \right| \leq 1\quad \Leftrightarrow \quad \left| {{\lambda _2}\left( {{A_d}} \right)} \right| \geq 1

Dieses System ist also ebenfalls für keinen Wert des Parameters \alpha asymptotisch stabil.

\mathcal{J}\mathcal{K}