Aufgabe 04 – Spannungsberechnung & Koppeltafel

 

Der unten abgebildete Träger aus isotropem Material ist einseitig fest eingespannt. Er wird am freien Ende entsprechend der Skizze in der Symmetrielinie durch eine Einzelkraft belastet.

Grafik

Grafik

Gegeben:
Elastizitätsmodul E
Querkontraktionszahl n
Kraft F
Wanddicke t
Trägerlänge l = 30a
Geom. Abmessung a

Gesucht:
Berechnen Sie den Normalspannungs- und den Schubspannungsverlauf an der
Einspannstelle!

Lösung

Vorüberlegungen:

  • Das Profil ist 1-fach symmetrisch: Die Hauptachse ist parallel zur Symmetrieachse, d.h. es gibt keine Deviationsmomente
  • Die Kraft ist parallel zur Hauptachse, die Biegung erfolgt also nur um eine Achse
  • Der Schubmittelpunkt liegt auf der Symmetrieachse und die Kraft greift im Schubmittelpunkt an, daher gibt es bei der Biegung keine Drillung

Als erstes müssen wir ein Koordinatensystem festlegen. Dieses bezeichnen wir mit ~, da es sich um ein beliebiges handelt. Das Koordinatensystem ohne ~ wird später jenes sein, welches im Schwerpunkt sitzt (den müssen wir vorher noch berechnen).

Grafik

Schnittgrößen

Zuerst bestimmen wir die Querkraft und das Biegemoment an der Einspannstelle.
Die Querkraft benötigen wir zur Berechnung des Biegemomentes und das Biegemoment benötigen wir später zur Berechnung des Normalspannungsverlaufes.

Grafik

Q_z  = -F

M_y  = xQ_z  = -Fx\quad  \Rightarrow \quad M_{y\left( l \right)}  = -F \cdot l

Berechnung des Schwerpunktes

Hierzu erstellen wir zunächst eine Grafik des \tilde z\left( s \right)-Verlaufes, also des Abstandes vom Bezugspunkt in z-Richtung:

Grafik

Die Formel für den Schwerpunkt lautet: \tilde z_{sp}  = \frac{{\int_{}^{} {Et\tilde zds} }} {{\int_{}^{} {Etds} }}

E: Elastizitätsmodul
t: Bauteildicke
z: Funktion des z-Verlaufes

Um nun die Beiden Integrale zu Berechnen nehmen wir die Koppeltafel für Integrale zur Hilfe:

Exkurs:

Sie dient normalerweise als Hilfestellung für die Berechnung eines Integrals, welches sich aus 2 Funktionen zusammensetzt:

Bsp.: \int\limits_0^l {a_{\left( s \right)}  \cdot b_{\left( s \right)} \:ds}
oder kurz: \int\limits_0^l {a \cdot b\:ds}

Hat nun z.B. die Funktion a einen konstanten Verlauf und die Funktion b einen linearen Verlauf, so entnehmen wir der Koppeltafel für das Integral die Lösung: \frac{1} {2} \cdot a \cdot b \cdot l
a ist hier das Maximum der Funktion a, b das Maximum der Funktion b und l die Länge, über welche die beiden Funktionen integriert werden sollen.

Beispielausschnitt aus der Koppeltafel:

Grafik

Sind beide Funktionen dagegen konstant, so liest man auch dies wieder entsprechend ab.

Durch die Koppeltafel erspart man sich also ein „Integrieren per Hand“.

Berechnung:

Da unser z Verlauf aus 4 Teilen besteht, von denen die 2 oberen identisch sind, müssen wir nun 3 Terme aufaddieren. (Ich markiere hier noch einmal a, b und l).
Da es bei unserer Aufgabe jedoch gar keine zweite Funktion b gibt, setzten wir b einfach auf 1, denn durch Multiplikation mit 1 verändert sich ja nichts.

\int_{}^{} {Et\tilde zds}  = der konstante/Rechteckverlauf unten+der lineare/Dreieckverlauf in der Mitte +
2 • der lineare/Dreieckverlauf oben
\int_{}^{} {Et\tilde zds}  = E \cdot t \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {3a}_l+2E \cdot t \cdot \frac{1} {2} \cdot \underbrace {2a}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {2a}_l+2 \cdot \left( {E \cdot t \cdot \frac{1} {2} \cdot \underbrace {\left( {-1,5a} \right)}_a \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2  \cdot 1,5a}_l} \right)

= \underline{\underline {6,818Eta^2 }}

\int_{}^{} {Etds}  = Et \cdot 3a+2Et \cdot 2a+2 \cdot Et \cdot \sqrt 2  \cdot 1,5a = \underline{\underline {11,243Eta}}

\tilde z_{sp}  = \frac{{\int_{}^{} {Etzds} }} {{\int_{}^{} {Etds} }} = \frac{{6,818Eta^2 }} {{11,243Eta}} = \underline{\underline {0,606a}}

Das Koordinatensystem, das nun weiter verwendet wird, ist das Schwerpunktsystem und entspricht dem Hauptachsensystem.

Berechnung der Biegesteifigkeit:

(Genauer, der Gesamtbiegesteifigkeit des Systems in eine bestimmte Richtung)

Die Formel für die Biegesteifigkeit lautet: EI_y  = \int_{}^{} {Etz^2 ds}

Bei der Berechnung der Biegesteifigkeit ist nur die Berechnung von EI_y  = \int_{}^{} {Etz^2 ds} notwendig, da die Biegung nur um die y-Achse stattfindet.

Da in der Formel für die Biegesteifigkeit nicht mehr mit \tilde z, sondern mit z gerechnet wird, benötigen wir zunächst den z-Verlauf, also den Abstand in z-Richtung vom Schwerpunkt aus:

Grafik

Nun berechnen wir die Integrale für die Biegesteifigkeit ebenfalls mit Hilfe der Koppeltafel. Zu beachten ist hierbei, dass b nun nicht mehr auf 1 gesetzt wird, sondern b = a gilt, da in dem Integral nicht mehr wie vorher ein z sondern ein z² steht. Die Funktion bzw. der Verlauf muss also mit sich selbst überlagert/multipliziert werden. Daher nutzen wir nun z.B. für den linearen Verlauf die zweite Spalte der zweiten Zeile der Koppeltafel (linear-linear).

Es gilt nun: EI_y  \approx

Grafik

EI_y  = E \cdot t \cdot \underbrace {1,394a}_a \cdot \underbrace {1,394a}_b \cdot \underbrace {3a}_l +

+ 2E \cdot t \cdot \frac{1} {3}\left[ {1,394a \cdot 1,394a \cdot 1,394a+\left( {-0,606a} \right) \cdot \left( {-0,606a} \right) \cdot 0,606a} \right] +

+ 2 \cdot E \cdot t \cdot \frac{1} {6}\left[ {\underbrace {-0,606a\left( {2 \cdot \left( {-0,606a} \right)-2,106a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {-2,106a\left( {-0,606a-2 \cdot 2,106a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot \underbrace {\sqrt 2  \cdot 1,5a}_l

Ausgerechnet ergibt sich:

EI_y  = 5,830Eta^3 +1,954Eta^3 +8,597Eta^3

EI_y  = \underline{\underline {16,381Eta^3 }}

Elastische Momente

Berechnung von: ES_y \left( s \right) = \int_0^s {E_{\left( {s^* } \right)}  \cdot z_{\left( {s^* } \right)}  \cdot t_{\left( {s^* } \right)} \:ds^* }

Die elastischen Momente entsprechen also grob einer Integration des z-Verlaufes.

Zunächst benötigen wir noch eine Grafik mit Richtungspfeilen, an denen wir uns „entlanghangeln“ können. (Dies legt die Laufrichtung von s fest). Dabei ist die Richtung der Pfeile generell egal. diese wirkt sich später nur auf die Vorzeichen in unseren Berechnungen aus. Jedoch ist es ratsam die Pfeile am Trägerende beginnen zu lassen (da dort die Momente 0 sind) und sie von dort aus weiter fortzuführen. Die Zahlen bezeichnen jeweils den Anfangs- bzw. Endpunkt eines Trägerteils.

Grafik

Wie gesagt sind die elastischen Momente an den Enden des Trägers alle 0, da dort keine Momente aufgenommen werden können:

ES_y \left( 1 \right) = ES_y \left( 3 \right) = ES_y \left( 7 \right) = ES_y \left( {10} \right) = 0

Die restlichen elastischen Momente werden wieder mit Hilfe der Koppeltafel berechnet.
Da beim elastischen Moment das z im Integral ohne Quadrat vorkommt, setzen wir b wieder auf 1.

Für den Wert bei (2) ergibt sich somit:

ES_y \left( 2 \right) = Et \cdot \frac{1} {2}\left( {\underbrace {-2,106a-0,606a}_{\left( {a_l +a_r } \right)}} \right) \cdot \underbrace 1_b \cdot \underbrace {\sqrt 2  \cdot 1,5a}_l+ES_y \left( 1 \right)

= -2,887Eta^2 = ES_y \left( 4 \right)

Zu beachten ist, dass bei der Berechnung des Momentes bei einer beliebigen Zahl in Pfeilrichtung die Momente der vorherigen Zahlen hinzuaddiert werden müssen.

So gilt z.B. für (5):

ES_y \left( 5 \right) = ES_y \left( 4 \right)+ES_y \left( 2 \right) = -5,774Eta^2

Nun fangen wir unten links an und berechnen das elastische Moment bei (8):

ES_y \left( 8 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot 1,5a+ES_y \left( 7 \right) = 2,091Eta^2

(9) berechnen wir nun von (10) aus. Dadurch müssen wir entgegen der eingetragenen Pfeilrichtung gehen. D.h. die Länge L muss negativ betrachtet werden:

ES_y \left( 9 \right) = Et \cdot 1,394a \cdot 1 \cdot \left( {-1,5a} \right)+ES_y \left( {10} \right) = -2,091Eta^2

In Pfeilrichtung gesehen gilt:

ES_y \left( 6 \right)+ES_y \left( 8 \right) = ES_y \left( 9 \right)

\Rightarrow \quad ES_y \left( 6 \right) = ES_y \left( 9 \right)-ES_y \left( 8 \right) = -4,182Eta^2

Zu guter Letzt gilt für das elastische Moment im Schwerpunkt von (5) aus berechnet:

ES_y \left( {11} \right) = ES_y \left( {SP} \right) = 2E \cdot t \cdot \frac{1} {2}\left( {-0,606a} \right) \cdot 1 \cdot 0,606a+ES_y \left( 5 \right)

= -6,141Eta^2

Der ESy-Verlauf:

Et ist abschnittweise konstant.
Da der ESy-Verlauf somit einer Integration des z-Verlaufes mit Vorfaktor entspricht, erhöhen sich die Potenzen der Funktionen, womit aus einem konstanten Verlauf ein linearer und aus einem linearen Verlauf ein quadratischer wird.
Bsp.: Schauen wir uns den z-Verlauf oben links an. Dieser entspricht einem Trapez, das zunächst Einen großen Wert besitzt, der dann in Pfeilrichtung kleiner wird, Das heißt also für das Integral bzw. den ESy-Verlauf, dass dieser mit einer großen Steigung beginnt, die anschließend immer weiter abnimmt.

Der ESy-Verlauf sieht damit aus, wie folgt:

Grafik

Schubspannungsverlauf:

\tau \left( s \right) = \frac{{q\left( s \right)}} {t} = -\frac{F} {{EI_y t}}ES_y \left( s \right)

Zur Erinnerung: Wir hatten berechnet EI_y  = 16,381Eta^3
Daher bekommen wir:

Grafik

Das Ergebnis ist abhängig von der eingeführten s-Richtung!
Positiv: Schubfluss/ Schubspannung verläuft in eingeführter s-Richtung
Negativ: Schubfluss/ Schubspannung verläuft entgegengesetzt zur s-Richtung

Qualitativ:
Qualitativ verläuft der Schubfluss immer in Richtung Querkraft.
Das Schubflussmaximum befindet sich dabei in der neutralen Faser.

Grafik

Normalspannungsverlauf:

\sigma _x  = E\left( s \right)\frac{{M_y }} {{EI_y }}z

Noch einmal zur Erinnerung:
EI_y  = 16,381Eta^3
M_y  = -Fx\quad bzw.\quad M_{y\left( l \right)}  = -FL

Grafik

Damit sind wir fertig!

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2 Kommentare zu “Aufgabe 04 – Spannungsberechnung & Koppeltafel”

Fehler bei ESy(6): müsste -4,198 heißen.
Der ESy Verlauf ist auch nicht ganz korrekt. Im Schwerpunkt müsste die Steigung jeweils null sein.
Sonst sehr schön und anschaulich! danke

Wie kommst du auf -4,198? Ich komme auf -2,091-2,091 = -4,182.
Stimmt, die Zeichnungen müssten noch korrigiert werden.

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