Aufgabe 06 – Spannungsberechnung

Gegeben ist folgender Träger mit der Länge l in x-Richtung:

Grafik

Das Profil besitzt überall den Elastizitätsmodul E und die Dicke t, sofern nicht anderweitig
bezeichnet.

Berechnen Sie den Normalspannungsverlauf an der Einspannstelle unter der gegebenen
Belastung!

Wie groß darf F maximal sein, damit eine Bruchspannung von $\sigma _{Bruch} = 400\frac{N} {{mm^2 }}$ nicht überschritten wird?

Gegeben:
E = 70000 N/mm²
t = 2 mm
l = 1000 mm
a = 50 mm
M = 3Fl

Lösung

Berechnung des Normalspannungsverlaufes

Erinnerung:
Formel für Spannungen im Hauptachsensystem:
$\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x +N_{xth} }} {{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }} {{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}$

Da jedoch bei dieser Aufgabe keine thermische Belastung und auch keine Normalkräfte vorhanden sind, vereinfach sich die Formel zu:

$\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{M_y }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z }} {{EI_z }}y} \right\}$

Wir müssen nun also zunächst noch die Momente aus den Schnittlasten an der Einspannstelle sowie den y- und z-Verlauf und die Biegemomente berechnen.

Schnittlasten:

Grafik

$Q_x = -F$

$M_y = -xQ_x = F \cdot x$

$M_{y\left( {x = 0} \right)} = \underline{\underline {Fl}}$

$M_z = -M = \underline{\underline {-3Fl}}$

Nun Folgen der y-Verlauf und der z-Verlauf:

Grafik

Damit können wir nun auch die Biegesteifigkeiten berechnen.

Erinnerung:
$EI_{\bar y} = \int\limits_{}^{} {Et\bar z^2 \:ds}$
$EI_{\bar z} = \int\limits_{}^{} {Et\bar y^2 \:ds}$

$\bar y$ und $\bar z$ sind die Abstände vom Schwerpunkt. Da der Schwerpunkt bei dem Gegebenen System jedoch genau in der Mitte liegt, wo wir auch schon y und z angesetzt haben setzen wir:

$y = \bar y$ und $z = \bar z$

Die Biegesteifigkeiten berechnen wir nun wieder mithilfe der Koppeltafel (wie in Artikel 4 beschrieben).

$EI_y = \left( {2Et \cdot \frac{1} {3} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+\left( {Et \cdot \frac{1} {6}\left[ {\underbrace {a\left( {2a+2a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {2a\left( {a+4a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot a} \right) \cdot 4$
$= \underline{\underline {13,105Eta^3 }}$

$EI_z = \left( {Et \cdot \frac{1} {3} \cdot 1,5a \cdot 1,5a \cdot 1,5a} \right) \cdot 2$

$+\left( {2Et \cdot \frac{1} {6}\left[ {1,5a\left( {2 \cdot 1,5a+2,5a} \right)+2,5a\left( {1,5a+2 \cdot 2,5a} \right)} \right] \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+$

$+\left( {Et \cdot 2,5a \cdot 2,5a \cdot a} \right) \cdot 4 = \underline{\underline {73,448Eta^3 }}$

Um nun den Kompletten Spannungsverlauf skizzieren zu können, benötigen wir die Spannungen an Folgenden 18 Punkten!:

Grafik

Nun können wir die Normalspannungen an den Markierten Stellen mit Hilfe der berechneten Werte ermitteln:

$\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{M_y }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z }} {{EI_z }}y} \right\}$

$\sigma _x \left( 1 \right) = E\left( {\frac{{Fl}} {{13,105Eta^3 }}2a-\frac{{-3Fl}} {{73,448Eta^3 }}\left( {-2,5a} \right)} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{2} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,483}}} \right)$

$= \underline{\underline {0,05\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 2 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,026\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 3 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,052\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 4 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 5 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,061\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 6 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 7 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,357\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 8 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,178\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( 9 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,255\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {10} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{2} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,255\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {11} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,178\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {12} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,357\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {13} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {14} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,061\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {15} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {16} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,052\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {17} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,026\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

$\sigma _x \left( {18} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,050\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}$

Grafisch in 3D-Darstellung erhält man folgendes Bild:

Grafik

Man sieht, dass sich die aus den Biegungen resultierenden Druckspannungen am linken unteren Profilende verstärken. Analoges lässt sich für die Zugspannungen am rechten oberen Ende festhalten.