Aufgabe 06 – Spannungsberechnung

 

Gegeben ist folgender Träger mit der Länge l in x-Richtung:

Grafik

Das Profil besitzt überall den Elastizitätsmodul E und die Dicke t, sofern nicht anderweitig
bezeichnet.

Berechnen Sie den Normalspannungsverlauf an der Einspannstelle unter der gegebenen
Belastung!

Wie groß darf F maximal sein, damit eine Bruchspannung von \sigma _{Bruch}  = 400\frac{N} {{mm^2 }} nicht überschritten wird?

Gegeben:

E = 70000 N/mm²
t = 2 mm
l = 1000 mm
a = 50 mm
M = 3Fl

Lösung

Berechnung des Normalspannungsverlaufes

Erinnerung:
Formel für Spannungen im Hauptachsensystem:
\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{N_x +N_{xth} }} {{EA}}+\frac{{M_y +M_{yth} }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z +M_{zth} }} {{EI_z }}y-\alpha _{th} \left( {y,z} \right)\Delta T\left( {y,z} \right)} \right\}

Da jedoch bei dieser Aufgabe keine thermische Belastung und auch keine Normalkräfte vorhanden sind, vereinfach sich die Formel zu:

\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{M_y }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z }} {{EI_z }}y} \right\}

Wir müssen nun also zunächst noch die Momente aus den Schnittlasten an der Einspannstelle sowie den y- und z-Verlauf und die Biegemomente berechnen.

Schnittlasten:

Grafik

Q_x  = -F

M_y  = -xQ_x  = F \cdot x

M_{y\left( {x = 0} \right)}  = \underline{\underline {Fl}}

M_z  = -M = \underline{\underline {-3Fl}}

Nun Folgen der y-Verlauf und der z-Verlauf:

Grafik

Damit können wir nun auch die Biegesteifigkeiten berechnen.

Erinnerung:
EI_{\bar y}  = \int\limits_{}^{} {Et\bar z^2 \:ds}
EI_{\bar z}  = \int\limits_{}^{} {Et\bar y^2 \:ds}

\bar y und \bar z sind die Abstände vom Schwerpunkt. Da der Schwerpunkt bei dem Gegebenen System jedoch genau in der Mitte liegt, wo wir auch schon y und z angesetzt haben setzen wir:

y = \bar y und z = \bar z

Die Biegesteifigkeiten berechnen wir nun wieder mithilfe der Koppeltafel (wie in Artikel 4 beschrieben).

EI_y  = \left( {2Et \cdot \frac{1} {3} \cdot a \cdot a \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+\left( {Et \cdot \frac{1} {6}\left[ {\underbrace {a\left( {2a+2a} \right)}_{a_l \left( {2b_l +b_r } \right)}+\underbrace {2a\left( {a+4a} \right)}_{a_r \left( {b_l +2b_r } \right)}} \right] \cdot a} \right) \cdot 4
= \underline{\underline {13,105Eta^3 }}

EI_z  = \left( {Et \cdot \frac{1} {3} \cdot 1,5a \cdot 1,5a \cdot 1,5a} \right) \cdot 2

+\left( {2Et \cdot \frac{1} {6}\left[ {1,5a\left( {2 \cdot 1,5a+2,5a} \right)+2,5a\left( {1,5a+2 \cdot 2,5a} \right)} \right] \cdot \sqrt 2 a} \right) \cdot 4+

+\left( {Et \cdot 2,5a \cdot 2,5a \cdot a} \right) \cdot 4 = \underline{\underline {73,448Eta^3 }}

Um nun den Kompletten Spannungsverlauf skizzieren zu können, benötigen wir die Spannungen an Folgenden 18 Punkten!:

Grafik

Nun können wir die Normalspannungen an den Markierten Stellen mit Hilfe der berechneten Werte ermitteln:

\sigma _x \left( {y,z} \right) = E\left( {y,z} \right)\left\{ {\frac{{M_y }} {{EI_y }}z-\frac{{M_z }} {{EI_z }}y} \right\}

\sigma _x \left( 1 \right) = E\left( {\frac{{Fl}} {{13,105Eta^3 }}2a-\frac{{-3Fl}} {{73,448Eta^3 }}\left( {-2,5a} \right)} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{2} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,483}}} \right)

= \underline{\underline {0,05\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 2 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,026\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 3 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,052\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 4 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 5 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,061\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 6 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{-1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 7 \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,357\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 8 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,178\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( 9 \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}} {{13,105}}+\frac{{-2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,255\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {10} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{2} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,255\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {11} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,178\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {12} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{1} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,357\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {13} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {14} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,061\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {15} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {0+\frac{{1,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,123\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {16} \right) = 2E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,052\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {17} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-1}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {0,026\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

\sigma _x \left( {18} \right) = E\frac{{Fl}} {{Eta^2 }}\left( {\frac{{-2}} {{13,105}}+\frac{{2,5}} {{24,48}}} \right) = \underline{\underline {-0,050\frac{{Fl}} {{ta^2 }}}}

Grafisch in 3D-Darstellung erhält man folgendes Bild:

Grafik

Grafik

Man sieht, dass sich die aus den Biegungen resultierenden Druckspannungen am linken unteren Profilende verstärken. Analoges lässt sich für die Zugspannungen am rechten oberen Ende festhalten.

Fmax

Die maximale Zugspannung, die wir im Profil berechnet haben beträgt:

\sigma _{ZugMax}  = 0,357\frac{{Fl}} {{ta^2 }}

l, t und a eingesetzt ergibt:

\sigma _{ZugMax}  = 0,357\frac{{1000mm}} {{2mm \cdot \left( {50mm} \right)^2 }}F = \underline{\underline {0,0714\:\frac{F} {{mm^2 }}}}

Laut Vorgabe dürfen 400\frac{N} {{mm^2 }} nicht überschritten werden. Es gilt also:

400\frac{N} {{mm^2 }} = 0,0714\:\frac{F} {{mm^2 }}

\Rightarrow F = \frac{{400\frac{N} {{mm^2 }}}} {{0,0714\frac{1} {{mm^2 }}}} = \underline{\underline {5604,66N}}

Fertig!