Bestimme

a) die Anzahl der Elemente der Menge

b) die Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge

Lösung

a )

Die Menge besitzt 4 Elemente.

Wie kommt man darauf? Hier eine kleine Ausführung:

Die leere Menge enthält genau 0 Elemente:

Die Menge, die die leere Menge enthält, dagegen 1 Element und zwar die leere Menge selbst:

Somit ist die leere Menge nicht Element der leeren Menge. Sie ist aber Element der Menge, welche die leere Menge enthält:

Kurz gesagt heißt dies also: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, jedoch nicht Element aus jeder Menge-zwischen diesen Begriffen muss man daher unterscheiden.

Zur Verdeutlichung ein wenig aufgeweitet:

Die gegebene Menge enthält 4 Elemente:

Das erste Element ist die leere Menge Ø

Das zweite Element ist die Menge, die die leere Menge enthält {Ø}

Für den dritten Ausdruck gilt:

Dies ist also kein neues Element.

Für den vierten Ausdruck gilt

Dies ist das dritte Element. Es stimmt außerdem mit dem fünften Ausdruck überein, weshalb wir nun gleich zum nächsten übergehen.

Das letzte und vierte Element der Menge lautet

Nocheinmal zusammengefasst:

b )

Zur Erinnerung: Die Potenzmenge einer Menge A enthält alle Teilmengen von A

Bsp.:

Sei A die Menge, welche die Elemente 1 und 2 enthält:

Dann enthält die Potenzmenge alle (Kombinationsmöglichkeiten der) Teilmengen:

Wie man sieht enthält die Potenzmenge immer auch die leere Menge.

Somit lässt sich für die Potenzmenge der leeren Menge folgern:

Diese Menge enthält nun genau ein Element.

Und dementsprechend gilt für deren Potenzmenge:

Diese Menge enthält nun schon 2 Elemente. Nämlich die leere Menge und die Menge, welche die leere Menge enthält

Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so besitzt Elemente.