Aufgabe 1.1 – Mengenbestimmung (!)

 

Bestimme

a) die Anzahl der Elemente der Menge

\left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\},\emptyset  \cup \left\{ \emptyset  \right\},\left\{ \emptyset  \right\} \cup \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\},\left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\}} \right\},\left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}} \right\}

b) die Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge

Lösung

a )

Die Menge besitzt 4 Elemente.

Wie kommt man darauf? Hier eine kleine Ausführung:

Die leere Menge enthält genau 0 Elemente:

|\emptyset | = {\text{ }}0

Die Menge, die die leere Menge enthält, dagegen 1 Element und zwar die leere Menge selbst:

\left| {\{ \emptyset \} } \right| = {\text{ 1}}

Somit ist die leere Menge nicht Element der leeren Menge. Sie ist aber Element der Menge, welche die leere Menge enthält:

\emptyset  \notin \emptyset ,{\text{ }}\emptyset  \in \{ \emptyset \}

Kurz gesagt heißt dies also: Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, jedoch nicht Element aus jeder Menge-zwischen diesen Begriffen muss man daher unterscheiden.

\left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\},\emptyset  \cup \left\{ \emptyset  \right\},\left\{ \emptyset  \right\} \cup \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\},\left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\}} \right\},\left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}} \right\}

Zur Verdeutlichung ein wenig aufgeweitet:

\left\{ {\quad \emptyset \quad,\quad \left\{ \emptyset  \right\}\quad,\quad \emptyset  \cup \left\{ \emptyset  \right\}\quad,\quad \left\{ \emptyset  \right\} \cup \left\{{\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}\quad,\quad \left\{ {\emptyset ,\left\{\emptyset  \right\}} \right\}\quad,\quad \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}\quad } \right\}

Die gegebene Menge enthält 4 Elemente:

Das erste Element ist die leere Menge Ø

Leere Menge

Das zweite Element ist die Menge, die die leere Menge enthält {Ø}

Menge, die die leere Menge enthält

Für den dritten Ausdruck gilt: \emptyset  \cup \left\{ \emptyset  \right\} = \left\{ \emptyset  \right\}

Vereinigung

Dies ist also kein neues Element.

Für den vierten Ausdruck gilt \left\{ \emptyset  \right\} \cup \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\} = \left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}

Vereinigung 2

Dies ist das dritte Element. Es stimmt außerdem mit dem fünften Ausdruck überein, weshalb wir nun gleich zum nächsten übergehen.

Das letzte und vierte Element der Menge lautet \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}

Menge, die die Menge enthält, die die leere Menge enthält

Nocheinmal zusammengefasst:

\left\{ {\quad \emptyset ,\quad \left\{ \emptyset  \right\},\quad \underbrace {\emptyset  \cup \left\{ \emptyset  \right\}}_{\left\{ \emptyset  \right\}},\quad \underbrace {\left\{ \emptyset  \right\} \cup \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}}_{\left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}},\quad \left\{ {\emptyset ,\left\{ \emptyset  \right\}} \right\},\quad \left\{ {\left\{ \emptyset  \right\}} \right\}\quad } \right\}

b )

Zur Erinnerung: Die Potenzmenge einer Menge A enthält alle Teilmengen von A

Bsp.:

Sei A die Menge, welche die Elemente 1 und 2 enthält:

A\: = \:\{ 1,2\}

Dann enthält die Potenzmenge alle (Kombinationsmöglichkeiten der) Teilmengen:

\mathcal{P}(A) = \{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 1,2\} \}

Wie man sieht enthält die Potenzmenge immer auch die leere Menge.

Somit lässt sich für die Potenzmenge der leeren Menge |\emptyset | = 0 folgern:

\mathcal{P}(\emptyset ) = \{ \emptyset \}

Diese Menge enthält nun genau ein Element.

Und dementsprechend gilt für deren Potenzmenge:

\mathcal{P}\left( {\{ \emptyset \} } \right) = \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} \}

Diese Menge enthält nun schon 2 Elemente. Nämlich die leere Menge und die Menge, welche die leere Menge enthält

Allgemein gilt: Besitzt A genau n Elemente, so besitzt \mathcal{P}\left( A \right) 2^n Elemente.

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