Aufgabe 01 – Schnittlastberechnung

 

Berechnen Sie die Schnittlastverläufe (Normalkraft,Querkraft, Biegemoment) in der
Anordnung und stellen Sie diese graphisch dar.

Schnittlastberechnung

Gegeben: F, a, p·a = F

Lösung

Als erstes überprüfen wir die statische Bestimmtheit des Systems, um eine Aussage über dessen Lösbarkeit treffen zu können.

Statische Bestimmtheit:

Zur Erinnerung:
2n = a+z

n:Knoten\quad \left( {Gleichungen} \right)

z:St\ddot{a}be

a:Auflagerreaktionen

hier:
2 \cdot 2 = 1+3\quad  \Rightarrow \quad statisch\:bestimmt

Nun führen wir ein Koordinatensystem ein, von welchem letztendlich unsere Berechnungen abhängen werden.

Koordinatensystem:
Koordinatensystem

Als nächstes benötigen wir noch die Auflagerreaktionen. Dazu schneiden wir das Objekt frei:

Freischnitt

\sum\limits_{}^{} {F_x  = 0 = -B_x -\sqrt 2 F\sin 45^\circ }

\sin 45^\circ  = \frac{{\sqrt 2 }} {2}

\Rightarrow \underline{\underline {B_x  = -F}}

\sum\limits_{}^{} {F_z  = 0 = -A_z -B_z +\underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F} +\underbrace {\sqrt 2 F\cos 45^\circ }_F

\Rightarrow A_z  = -B_z +2F

\sum\limits_{}^{} {M_A  = 0 = \frac{1} {3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F} +a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F-2a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\cos 45^\circ }_F+4a \cdot B_z

\Rightarrow 0 = \frac{2} {3}a \cdot F+a \cdot F-2a \cdot F+4a \cdot B_z

\Rightarrow -4aB_z  = -\frac{1} {3}aF

\Rightarrow \underline{\underline {B_z  = \frac{1} {{12}}F}}

\Rightarrow A_z  = -B_z +2F = -\frac{1} {{12}}F+\frac{{24}} {{12}}F = \underline{\underline {\frac{{23}} {{12}}F}}

Um nun die Schnittlasten mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen, teilen wir das Objekt in Bereiche auf, die wir anschließend einzeln abarbeiten werden:
Bereiche

Nun folgt das Berechnen der Schnittlasten in den einzelnen Bereichen:

Bereich I

Bereich I

N_{x_I }  = \underline{\underline 0}

Q_{x_1 }  = -\int\limits_0^x {\frac{p} {{2a}}s\:ds}  = \underline{\underline {-\frac{p} {{4a}}x^2 }}

M_{x_1 }  = x\:Q_x +\int\limits_0^x {s \cdot \frac{p} {{2a}}s} \:ds = -\frac{p} {{4a}}x^3 +\frac{p} {{6a}}x^3  = \underline{\underline {-\frac{1} {{12}}\frac{p} {a}x^3 }}

Bereich II

Bereich II

Die Streckenlast lässt sich hier auf ihre Resultierende reduzieren (F). Der Kraftangriffspunkt bei dem Dreieck liegt hier von links gesehen bei \frac{2} {3} \cdot 2a.
N_{x_2 }  = \underline{\underline 0}

Q_{x_2 }  = -\int_0^{2a} {\frac{p} {{2a}}s\:ds+A_z  = -\underbrace {\frac{p} {{4a}}4a^2 }_F+\frac{{23}} {{12}}F = \underline{\underline {\frac{{11}} {{12}}F}} }

M_{x_2 }  = x\:Q_x +\frac{2} {3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F-2a \cdot Az = \frac{{11}} {{12}}xF+\frac{4} {3}aF-2a \cdot \frac{{23}} {{12}}F = \underline{\underline {\left( {\frac{{11}} {{12}}x-\frac{5} {2}a} \right)F}}

Bereich III

Die Kraft im Bereich 3 Lässt sich hier in 2 Komponenten zerlegen:
Bereich III

Daraus folgt:

N_{x_3 }  = \underline{\underline {F}}

Q_{x_3 }  = \underline{\underline {-F}}

M_{x_3 }  = \underline{\underline {-Fx_3 }}

Bereich IV

Bereich IV

N_{x_4 }  = \underline{\underline {-F}}

Q_{x_4 }  = \underline{\underline {-F}}

M_{x_4 }  = \underline{\underline {-Fx_4 -Fa}}

Bereich V

Zur Vereinfachung rechnen wir in diesem Bereich nun nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links. Dabei ist zu beachten, dass wir nun das negative Schnittufer (also das Schnittufer entgegen dem eingeführten Koordinatensystem) betrachten und deshalb alle Schnittkräfte in Gegenrichtung einzeichnen müssen. Des Weiteren führen wir x_5 entgegen dem normalen x ein:

Bereich V

N_{x_5 }  = \underline{\underline F}

Q_{x_5 }  = \underline{\underline {-\frac{1} {{12}}F}}

M_{x_5 }  = -x_5 Q_{x_5}  = \underline{\underline {\frac{F} {{12}}x_5 }}

Mit diesen ganzen Ergebnissen erhalten wir folgende Grafische Darstellung der Schnittlasten:

Schnittlastverläufe

Schnittlastverlauf 1

Schnittlastverlauf 2

Schnittlastverlauf 3

(Wichtig für Klausur: Erkennen, wie die Verläufe sind!)

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10 Kommentare zu “Aufgabe 01 – Schnittlastberechnung”

Bei der Kräftezerlegung scheint ein Fehler zu sein. sqrt(2)* F in y-Richtung zerlegt ist nicht sin, sondern cos.

Wenn du in z-Richtung meinst, stimme ich dir zu :)
Hab’s korrigiert. Danke!

Hallo,
mal was anderes: Mit welchem Programm erstellst du die Zeichnungen für die Ersatzmodelle / Schnittlasten?

Die Schnittlastverläufe haben wir mit Microsoft Word erstellt. Die Freischnitte sind von den Übungsblättern übernommen und zum Teil mit Word ergänzt worden worden.

Ich kann irgendwie nicht ganz nachvollziehen, wie man auf das Mx2 kommt, auch weil man für x=0 nicht auf die -2/3Fa am Lager wie auch richtig in den Schnittlastverläufen eingezeichnet kommt.

Gibts irgendwo ne Tabelle, in der steht wie die graphischen Schnittverläufe sind? Also woran erkenn ich, dass kubisch, linear oder quadratisch verläuft?

Hallo,

ich finde die Aufgabe wirklich gut bis auf den kleinen Fehler mit sin/cos.
Gibt es genau von der art noch ein paar Aufgaben zum üben?

@TA: Das Lager befindet sich auch nicht an der Position x = 0, sondern bei x = 2a. Damit kommt auch der richtige Wert heraus. x = 0 wäre ganz links. :)

@axelthunder: Danke! :)
Noch mehr Aufgaben dieser Art könnten im Bereich Leichtbau und Technische Mechanik zu finden sein. Einfach mal die Suche oben auf der Seite bemühen.

@Troy McClure: Den Verlauf erkennst du am höchsten Exponenten in der Formel. x³ => kubisch, x² => quadratisch , x => linear, kein x => konstant.

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