Aufgabe 01 – Schnittlastberechnung

Berechnen Sie die Schnittlastverläufe (Normalkraft,Querkraft, Biegemoment) in der
Anordnung und stellen Sie diese graphisch dar.

Schnittlastberechnung

Gegeben: F, a, p·a = F

Lösung

Als erstes überprüfen wir die statische Bestimmtheit des Systems, um eine Aussage über dessen Lösbarkeit treffen zu können.

Statische Bestimmtheit:

Zur Erinnerung:
$2n = a+z$

$n:Knoten\quad \left( {Gleichungen} \right)$

$z:St\ddot{a}be$

$a:Auflagerreaktionen$

hier:
$2 \cdot 2 = 1+3\quad \Rightarrow \quad statisch\:bestimmt$

Nun führen wir ein Koordinatensystem ein, von welchem letztendlich unsere Berechnungen abhängen werden.

Koordinatensystem:

Als nächstes benötigen wir noch die Auflagerreaktionen. Dazu schneiden wir das Objekt frei:

Freischnitt

$\sum\limits_{}^{} {F_x = 0 = -B_x -\sqrt 2 F\sin 45^\circ }$

$\sin 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }} {2}$

$\Rightarrow \underline{\underline {B_x = -F}}$

$\sum\limits_{}^{} {F_z = 0 = -A_z -B_z +\underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F} +\underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F$

$\Rightarrow A_z = -B_z +2F$

$\sum\limits_{}^{} {M_A = 0 = \frac{1} {3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F} +a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F-2a \cdot \underbrace {\sqrt 2 F\sin 45^\circ }_F+4a \cdot B_z$

$\Rightarrow 0 = \frac{2} {3}a \cdot F+a \cdot F-2a \cdot F+4a \cdot B_z$

$\Rightarrow -4aB_z = -\frac{1} {3}aF$

$\Rightarrow \underline{\underline {B_z = \frac{1} {{12}}F}}$

$\Rightarrow A_z = -B_z +2F = -\frac{1} {{12}}F+\frac{{24}} {{12}}F = \underline{\underline {\frac{{23}} {{12}}F}}$

Um nun die Schnittlasten mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen, teilen wir das Objekt in Bereiche auf, die wir anschließend einzeln abarbeiten werden:

Nun folgt das Berechnen der Schnittlasten in den einzelnen Bereichen:

Bereich I

$N_{x_I } = \underline{\underline 0}$

$Q_{x_1 } = -\int\limits_0^x {\frac{p} {{2a}}s\:ds} = \underline{\underline {-\frac{p} {{4a}}x^2 }}$

$M_{x_1 } = x\:Q_x +\int\limits_0^x {s \cdot \frac{p} {{2a}}s} \:ds = -\frac{p} {{4a}}x^3 +\frac{p} {{6a}}x^3 = \underline{\underline {-\frac{1} {{12}}\frac{p} {a}x^3 }}$

Bereich II

Die Streckenlast lässt sich hier auf ihre Resultierende reduzieren (F). Der Kraftangriffspunkt bei dem Dreieck liegt hier von links gesehen bei $\frac{2} {3} \cdot 2a$ .
$N_{x_2 } = \underline{\underline 0}$

$Q_{x_2 } = -\int_0^{2a} {\frac{p} {{2a}}s\:ds+A_z = -\underbrace {\frac{p} {{4a}}4a^2 }_F+\frac{{23}} {{12}}F = \underline{\underline {\frac{{11}} {{12}}F}} }$

$M_{x_2 } = x\:Q_x +\frac{2} {3}2a \cdot \underbrace {\frac{{2ap}} {2}}_F-2a \cdot Az = \frac{{11}} {{12}}xF+\frac{4} {3}aF-2a \cdot \frac{{23}} {{12}}F = \underline{\underline {\left( {\frac{{11}} {{12}}x-\frac{5} {2}a} \right)F}}$

Bereich III

Die Kraft im Bereich 3 Lässt sich hier in 2 Komponenten zerlegen:
Bereich III

Daraus folgt:

$N_{x_3 } = \underline{\underline {F}}$

$Q_{x_3 } = \underline{\underline {-F}}$

$M_{x_3 } = \underline{\underline {-Fx_3 }}$

Bereich IV

$N_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}$

$Q_{x_4 } = \underline{\underline {-F}}$

$M_{x_4 } = \underline{\underline {-Fx_4 -Fa}}$

Bereich V

Zur Vereinfachung rechnen wir in diesem Bereich nun nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links. Dabei ist zu beachten, dass wir nun das negative Schnittufer (also das Schnittufer entgegen dem eingeführten Koordinatensystem) betrachten und deshalb alle Schnittkräfte in Gegenrichtung einzeichnen müssen. Des Weiteren führen wir $x_5$ entgegen dem normalen x ein: