Aufgabe 11 – St. Venantsche Torsion mehrfach geschlossener Querschnitte

 

Die beiden Träger A) und B) sollen hinsichtlich ihres Torsionsverhaltens untersucht werden.
Träger A) ist als einzelliger Querschnitt, Träger B) als dreizelliger Querschnitt ausgebildet. Die Einspannung ist als Gabellagerung (Verwölbung zugelassen) ausgeführt, weshalb es sich um ein St. Venantsches Torsionsproblem handelt.

Grafik

Gegeben: Schubmodul G, Wandstärke t, a, l, M

1.) Berechnen Sie

a) die Torsionssteifigkeiten
b) die Schubflüsse
c) die Verdrehwinkel der beiden Träger

2.) Welche Bauweise ist unter Leichtbaugesichtspunkten sinnvoller?

Lösung

1.) a) Berechnung der Torsionssteifigkeiten

Bauweise A:

Der Querschnitt dieses Trägers ist einfach geschlossen.

Torsionssteifigkeit für ein einfach geschlossenes Profil:
(2. Bredtsche Formel)

Grafik

A_U: Umschlossene Fläche

Grafik: Umfang

Es gilt nun:

A_U  = 6a \cdot 2a = 12a^2

Grafik= \frac{{16a}} {{Gt}}
\Rightarrow GI_T ^A  = \frac{{4 \cdot \left( {12a^2 } \right)^2 }} {{\frac{{16a}} {{Gt}}}} = \underline{\underline {36Gta^3 }}

Bauweise B:

Hierbei handelt es sich um einen mehrfach geschlossenen Querschnitt:

Torsionssteifigkeit für ein einfach geschlossenes Profil:
GI_T  = 2\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{q_i }} {{\varphi _x  ^{\prime}}}A_{Ui} }  = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} }
A_U: Umschlossene Fläche
q_i: Schubflüsse
\varphi _x  ^{\prime}: Verdrillungen
q_i ^*: unbekannte, die wir durch ein Gleichungssystem berechnen müssen und aus der wir anschließend die Schubflüsse berechnen können.

Nun legen wir zunächst willkürlich eine Umlaufrichtung für den Schubfluss fest:

Grafik

Zu beachten ist bei diesem Querschnitt übrigens, dass sich der Schubfluss im Steg zwischen zwei Zellen aus den Schubflüssen der jeweiligen benachbarten Zellen zusammensetzt.

Es gilt:

q_i ^* \int_a^b {\frac{{ds}} {{\left( {Gt} \right)_{ab} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i-1} ^* } \right)\int_b^c {\frac{{ds}} {{\left( {Gt} \right)_{bc} }}} +q_i ^* \int_c^d {\frac{{ds}} {{\left( {Gt} \right)_{cd} }}} +\left( {q_i ^* -q_{i+1} ^* } \right)\int_d^a {\frac{{ds}} {{\left( {Gt} \right)_{da} }}}  = 2A_{Ui}

Eingesetzt erhalten wir für somit 3 Gleichungen mit insgesamt 3 Unbekannten:

Zelle 1: q_1 ^* \frac{a} {{Gt}}+q_1 ^* \frac{{2a}} {{Gt}}+q_1 ^* \frac{a} {{Gt}}+\left( {q_1 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}} {{Gt}} = 2 \cdot 2a^2

Zelle 2: q_2 ^* \frac{{4a}} {{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_1 ^* } \right)\frac{{2a}} {{Gt}}+q_2 ^* \frac{{4a}} {{Gt}}+\left( {q_2 ^* -q_3 ^* } \right)\frac{{2a}} {{Gt}} = 2 \cdot 8a^2

Zelle 3: q_3 ^* \frac{a} {{Gt}}+\left( {q_3 ^* -q_2 ^* } \right)\frac{{2a}} {{Gt}}+q_3 ^* \frac{a} {{Gt}}+q_3 ^* \frac{{2a}} {{Gt}} = 2 \cdot 2a^2

Dieses Gleichungssystem können wir auch als Matrix darstellen und anschließend auflösen.
Dazu multiplizieren wir die Gleichungen noch mit Gt und teilen durch a:

Zelle 1: q_1 ^* +2q_1 ^* +q_1 ^* +2q_1 ^* -2q_2 ^*  = 6q_1 ^* -2q_2 ^*  = 4Gta

Zelle 2: 4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_1 ^* +4q_2 ^* +2q_2 ^* -2q_3 ^*  = 12q_2 ^* -2q_1 ^* -2q_3 ^*  = 16Gta

Zelle 3: q_3 ^* +2q_3 ^* -2q_2 ^* +q_3 ^* +2q_3 ^*  = 6q_3 ^* -2q_2 ^*  = 4Gta

In Matrizendarstellung:

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}    6 & {-2} & 0  \\    {-2} & {12} & {-2}  \\    0 & {-2} & 6  \\   \end{array} } \right]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    q_1 ^*   \\     {q_2 ^* }  \\    {q_3 ^* }  \\   \end{array} } \right\} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    4  \\    {16}  \\    4  \\   \end{array} } \right\}Gta

Nun lösen wir das Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel:

q_i ^*  = \frac{{\det (A_i )}} {{\det (A)}}
Die Matrix Ai entsteht aus der Koeffizientenmatrix, indem die i-te Spalte durch die rechte Seite des Gleichungssystems ersetzt wird.

Die Determinante können wir über die Regel von Sarrus berechnen:

\det \left( A \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    6 & {-2} & 0  \\    {-2} & {12} & {-2}  \\    0 & {-2} & 6  \\   \end{array} } \right| = 6 \cdot 12 \cdot 6+0+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right)

= \underline{\underline {384}}

\det \left( {A_1 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    4Gta & {-2} & 0  \\     {16Gta} & {12} & {-2}  \\    {4Gta} & {-2} & 6  \\   \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    4 & {-2} & 0  \\    {16} & {12} & {-2}  \\    4 & {-2} & 6  \\   \end{array} } \right|Gta

= \left[ {4 \cdot 12 \cdot 6+\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4+0-0-\left( {-2} \right) \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4-6 \cdot 16 \cdot \left( {-2} \right)} \right]Gta

= \underline{\underline {480Gta}}

\det \left( {A_2 } \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    6 & 4 & 0  \\    {-2} & {16} & {-2}  \\    0 & 4 & 6  \\   \end{array} } \right|Gta = \left[ {6 \cdot 16 \cdot 6+0+0-0-4 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 6-6 \cdot \left( {-2} \right) \cdot 4} \right]Gta

= \underline{\underline {672Gta}}

\det \left( {A_3 } \right) = \det \left( {A_1 } \right)

Daraus folgt:

q_1 ^*  = q_3 ^*  = \frac{{480Gta}} {{384}} = \underline{\underline {1,25\:Gta}}

q_2 ^*  = \frac{{672Gta}} {{384}} = \underline{\underline {1,75\:Gta}}

Somit gilt für die Torsionssteifigkeit des Trägers B:

GI_T ^B  = 2\sum\limits_{i = 1}^n {q_i^* A_{Ui} }  = 2 \cdot \left[ {2 \cdot \left( {1,25\:Gta \cdot 2a^2 } \right)+1,75\:Gta \cdot 8a^2 } \right] = \underline{\underline {38Gta^3 }}

b) Schubflüsse

Bauweise A:

Formel für den Schubfluss:
(1. Bredtsche Formel)

q = \frac{{M_t }} {{2A_U }}

q = \frac{{M_t }} {{2A_U }} = \frac{{M_T }} {{2 \cdot 12a^2 }} = \underline{\underline {0,0417\frac{{M_T }} {{a^2 }}}}

Bauweise B:

Aus den q_i ^* können wir nun die q_i bestimmen:

q_i  = \varphi _x  ^{\prime}\cdot q_i ^*  = \frac{{M_T }} {{GI_T }} \cdot q_i ^*

\varphi _x  ^{\prime}: Verdrillung

q_1  = \frac{{M_T }} {{38Gta^3 }} \cdot 1,25Gta = \underline{\underline {0,0329\frac{{M_T }} {{a^2 }}}}  = q_3

q_2  = \frac{{M_T }} {{38Gta^3 }} \cdot 1,75Gta = \underline{\underline {0,0461\frac{{M_T }} {{a^2 }}}}

Grafisch sieht der Schubflussverlauf wie folgt aus:

Grafik

c) Verdrehwinkel

Bauweise A: \varphi _x  = \varphi _x  ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }} {{GI_T ^A }} \cdot l = \frac{{M_T }} {{36Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0278\frac{{M_t l}} {{Gta^3 }}}}

Bauweise B: \varphi _x  = \varphi _x  ^{\prime}\cdot l = \frac{{M_T }} {{GI_T ^B }} \cdot l = \frac{{M_T }} {{38Gta^3 }} \cdot l = \underline{\underline {0,0263\frac{{M_t l}} {{Gta^3 }}}}

2) Welche Bauweise ist unter Leichtbaugesichtspunkten sinnvoller?

Zur Erhöhung der Torsionssteifigkeit ist Bauweise B ungeeignet, da ein relativ hoher
Materialaufwand nur eine geringfügige Erhöhung der Torsionssteifigkeit bewirkt. (Um gerade mal 10,66%)

Fertig!