Aufgabe 1.5 – Sigma-Algebra (!)

Sei $M: = \left\{ {A \subseteq \mathbb{R}|A \subseteq \left[ {0,1} \right]oder\:A^c \subseteq \left[ {0,1} \right]} \right\}$ gegeben. Ist M eine σ-Algebra über $\mathbb{R}$ ?

Lösung

Um nun zu zeigen, dass es sich bei M tatsächlich um eine σ-Algebra handelt, müssen wir überprüfen, ob die 3 Bedingungen, die für eine σ-Algebra gelten müssen, erfüllt sind.

1. Bedingung

Die Grundmenge selbst muss enthalten sein. D.h. es muss gelten: $\mathbb{R} \in M$

Nach der Definition der Menge M ist eine Menge in M, wenn sie selbst oder ihr Komplement Teilmenge des Intervalls [0,1] ist.

Das Komplement von $\mathbb{R}$ ist die leere Menge (Ø) und die leere Menge ist bekanntlich Teilmenge jeder Menge. Da somit das Komplement von $\mathbb{R}$ in der Menge M ist, ist auch $\mathbb{R}$ selbst in der Menge:

$\mathbb{R}^c = \emptyset \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad \Rightarrow \quad \mathbb{R} \in M$

2. Bedingung

Wenn die Menge A Element von M ist, so muss daraus folgen, dass auch ihr Komplement in M ist. D.h. wir müssen zeigen: $A \in M\quad \Rightarrow A^c \in M$

Sei also $A \in M$ . Dann gibt es zwei mögliche Fälle:

a)
Es gilt $A \subseteq \left[ {0,1} \right]$
Dann muss $A^c$ auch in M sein, da sein Komplement drinnen ist: $\left( {A^c } \right)^c = A\quad und\quad A \in M\quad \Rightarrow \quad A^c \in M$

b)
Es gilt $A^c \subseteq \left[ {0,1} \right]$
Damit gilt automatisch: $\Rightarrow A^c \in M$

3. Bedingung

Es muss gezeigt werden, dass die Vereinigung aus allen $A_i$ , die in M sind auch wieder in M ist, also dass gilt: $A_i \in M,\quad i \in \mathbb{N}\quad \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i \in M}$

Sei also $A_i \in M,\quad i \in \mathbb{N}$
Auch hier gibt es nun mehrere Fälle zu unterscheiden:

a)
alle $A_i \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } \in M$
b)
mindestens ein $A_i ^c \subseteq \left[ {0,1} \right]$ bzw. mindestens ein $A_i \not\subset \left[ {0,1} \right]$ :
Damit kann der Schnitt aller $A_i ^c$ auch höchstens Teilmenge von [0,1] sein:
$\Rightarrow \quad \left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } } \right)^c = \bigcap\limits_{i = 1}^\infty {A_i^c } \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } \in M$