Aufgabe 1.5 – Sigma-Algebra (!)

 

Sei M: = \left\{ {A \subseteq \mathbb{R}|A \subseteq \left[ {0,1} \right]oder\:A^c  \subseteq \left[ {0,1} \right]} \right\} gegeben. Ist M eine σ-Algebra über \mathbb{R}?

Lösung

Um nun zu zeigen, dass es sich bei M tatsächlich um eine σ-Algebra handelt, müssen wir überprüfen, ob die 3 Bedingungen, die für eine σ-Algebra gelten müssen, erfüllt sind.

1. Bedingung

Die Grundmenge selbst muss enthalten sein. D.h. es muss gelten: \mathbb{R} \in M

Nach der Definition der Menge M ist eine Menge in M, wenn sie selbst oder ihr Komplement Teilmenge des Intervalls [0,1] ist.

Das Komplement von \mathbb{R} ist die leere Menge (Ø) und die leere Menge ist bekanntlich Teilmenge jeder Menge. Da somit das Komplement von \mathbb{R} in der Menge M ist, ist auch \mathbb{R} selbst in der Menge:

\mathbb{R}^c  = \emptyset  \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad  \Rightarrow \quad \mathbb{R} \in M

2. Bedingung

Wenn die Menge A Element von M ist, so muss daraus folgen, dass auch ihr Komplement in M ist. D.h. wir müssen zeigen: A \in M\quad  \Rightarrow A^c  \in M

Sei also A \in M. Dann gibt es zwei mögliche Fälle:

a)
Es giltA \subseteq \left[ {0,1} \right]
Dann muss A^c auch in M sein, da sein Komplement drinnen ist: \left( {A^c } \right)^c  = A\quad und\quad A \in M\quad  \Rightarrow \quad A^c  \in M

b)
Es gilt A^c  \subseteq \left[ {0,1} \right]
Damit gilt automatisch: \Rightarrow A^c  \in M

3. Bedingung

Es muss gezeigt werden, dass die Vereinigung aus allen A_i , die in M sind auch wieder in M ist, also dass gilt: A_i  \in M,\quad i \in \mathbb{N}\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \in M}

Sei also A_i  \in M,\quad i \in \mathbb{N}
Auch hier gibt es nun mehrere Fälle zu unterscheiden:

a)
alle A_i  \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i }  \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i }  \in M
b)
mindestens ein A_i ^c  \subseteq \left[ {0,1} \right] bzw. mindestens ein A_i  \not\subset \left[ {0,1} \right]:
Damit kann der Schnitt aller A_i ^c auch höchstens Teilmenge von [0,1] sein:
\Rightarrow \quad \left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i } } \right)^c  = \bigcap\limits_{i = 1}^\infty  {A_i^c }  \subseteq \left[ {0,1} \right]\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i }  \in M

Es sind also alle 3 Bedingungen erfüllt. Somit ist M eine σ-Algebra über \mathbb{R}.

(In Beispiel 1.9-Sigma Algebra sind auch einige veranschaulichende Bilder zu finden.)