Aufgabe 2.1 – Sigma-Ring und Sigma-Algebra (!)

 

Sei S \ne \emptyset eine nichtleere Menge und M: = \left\{ {A \subseteq S|A\:ist\:h\ddot ochstens\:abz\ddot ahlbar} \right\} .
Zeige, dass M ein σ-Ring ist. Wann ist M eine σ-Algebra?

Lösung

Seien A,B \in Mmit M: = \left\{ {A \subseteq S|A\:ist\:h\ddot ochstens\:abz\ddot ahlbar} \right\}
(M enthält also eine abzählbare Teilmenge aus S)

Damit es sich bei der Menge M nun um einen Ring handelt, müssen folgende Bedingungen gelten:

1.
Die Menge M darf nicht die leere Menge sein:

M \ne \emptyset

2.
Es muss Abgeschlossenheit bezüglich der Differenz gelten:

A,B \in M \Rightarrow A{{\backslash }}B \in M

(Sind A und B aus M, so auch A ohne B)

3.
Es muss Abgeschlossenheit bezüglich der Vereinigung zweier Teilmengen gelten:

A,B \in M \Rightarrow A \cup B \in M

(Sind A und B aus M, so auch A vereinigt mit B)

Bedingung 1 gilt, da S eine Nichtleere Menge ist und es zu ihr auf jeden Fall eine abzählbare Teilmenge gibt. Somit ist M auch nicht die leere Menge

Als nächstes nehmen wir uns Bedingung 3 vor. Dadurch wird später Bedingung 2 leichter zu zeigen sein.
Um zu zeigen, dass Bedingung 3 erfüllt ist, bilden wir zwei höchstens abzählbare Teilmengen A und B durch Abbildungen aus den natürlichen Zahlen, denn wir wissen, dass diese Menge zwar unendlich, aber trotzdem Abzählbar ist. (1, 2, 3, 4,…)

Wir definieren 2 Abbildungen:

\mathbb{N} \to A\:,\quad i \mapsto a_i
\mathbb{N} \to B\:,\quad i \mapsto b_i

und vereinigen diese:
(Dabei enthalte A alle geraden natürlichen Zahlen und B alle ungeraden.)

Sei i \in \mathbb{N}. Es gilt:

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to A \cup B \\ {2i \mapsto a_i } \\ {2i-1 \mapsto b_i } \\ \end{array} } \right\}A \cup B \in M

Damit ist die Vereinigung auch in M, da sie ebenfalls wieder abzählbar ist.

Für Bedingung 3 muss gelten: A,B \in M \Rightarrow A{{\backslash }}B \in M
Es gilt:
A{{\backslash }}B = \left( {A \cup B} \right){{\backslash }}B \in M

denn \left( {A \cup B} \right) ist höchstens abzählbar, wie wir gerade schon gezeigt haben. Damit kann \left( {A \cup B} \right){{\backslash }}B auch nur höchstens abzählbar sein und ist somit in M.

Damit handelt es sich bei M also schon mal um einen Ring. Damit es sich nun um einen σ-Ring handelt, müssen wir noch die dritte Bedingung einer σ-Algebra zeigen. Es muss also gelten:
A_i \in M \Rightarrow \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } \in M

Seien also A_i \in M\:,\quad i \in \mathbb{N}

Sei wieder a_i \in A
Und sei a_j \left( i \right) \in A_i

Es gilt:
\bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } = \left\{ {\underbrace {a_j \left( i \right)}_{ \in A_i }|j \in \mathbb{N}} \right\}

Damit die Vereinigung Element von M sein kann, darf sie höchstens abzählbar sein.
Diese Abzählbarkeit wollen wir im Folgenden zeigen.

Da wir es bei a_j \left( i \right) mit zwei Indizes zu tun haben können wir a_j \left( i \right) auch als Einträge einer Matrix auffassen:

\begin{array}{*{20}{c}} A_1 & {A_2 } & {A_3 } & {} \\ {a_1 \left( 1 \right)} & {a_1 \left( 2 \right)} & {a_1 \left( 3 \right)} & \cdots \\ {a_2 \left( 1 \right)} & {a_2 \left( 2 \right)} & {a_2 \left( 3 \right)} & \cdots \\ {a_3 \left( 1 \right)} & {a_3 \left( 2 \right)} & {a_3 \left( 3 \right)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & {} \\ \end{array}

Betrachten wir nun ausschließlich i und j:

\begin{array}{*{20}{c}} \left( {1,1} \right) & {\left( {1,2} \right)} & {\left( {1,3} \right)} & \cdots \\ {\left( {2,1} \right)} & {\left( {2,2} \right)} & {\left( {2,3} \right)} & \cdots \\ {\left( {3,1} \right)} & {\left( {3,2} \right)} & {\left( {3,3} \right)} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & {} \\ \end{array}

Um zu zeigen, dass sich diese Menge tatsächlich zählen lässt, tun wir nun nichts anderes, als eine Möglichkeit für das Zählen aufzuzeigen. Wir verwenden dafür folgenden Schlüssel zur Codierung:

\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}\:,\quad \left( {i,j} \right) \mapsto \frac{1} {2}\left( {i+j-2} \right)\left( {i+j-1} \right)+i

Dies ergibt folgende Nummerierung der Matrixeinträge (man beachte die Diagonalen):

\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 3 & 6 & {10} & \cdots \\ 2 & 5 & 9 & {14} & \cdots \\ 4 & 8 & {13} & {19} & \cdots \\ 7 & {12} & {18} & {25} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & {} \\ \end{array}

Damit lässt sich also die Menge der a_j \left( i \right) abzählen
(Der Fall für eine endliche Menge ist mit eingeschlossen)

\Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } \in M\quad \Rightarrow M ist ein σ-Ring

Übrigens lässt sich auf diese Weise auch die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen zeigen, indem man sie in Zeilen und Spalten einer Matrix einträgt und anschließend mit der gleichen Codierung ein Abzählen ermöglicht:

\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1} {1} & {\frac{1} {2}} & {\frac{1} {3}} & \cdots \\ {\frac{2} {1}} & {\frac{2} {2}} & {\frac{2} {3}} & \cdots \\ {\frac{3} {1}} & {\frac{3} {2}} & {\frac{3} {3}} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & {} \\ \end{array}

Falls nun S auch noch eine höchstens abzählbare Menge ist, dann wird M sogar zur σ-Algebra.