Aufgabe 21 – statische Unbestimmtheit

 

Bestimmen sie den Grad der statischen Unbestimmtheit der nachfolgenden Strukturen.
(Es werden nur die prüfungsrelevanten Teilaufgaben betrachtet: a-h, n)

Hinweise:

Zunächst einmal müssen wir unterscheiden, um was für ein Tragwerk es sich überhaupt handelt:

  • Balkentragwerk
  • Rahmentragwerk
  • Schubfeld
  • zusammengesetztes Tragwerk

Die benötigten Formeln dazu:

Bei Rahmentragwerken gilt:

U = 3r+l-3

r: Anzahl der Rahmen
l: Anzahl der Lagerreaktionen
3: 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Reduktion der statischen Unbestimmtheit

Bei ebenen Schubfeldern gilt:

U = s+b+l-2k

s: Anzahl der Stäbe
b: Anzahl der Bleche
k: Anzahl der Knoten
l: Anzahl der Lagerungen (Lagerreaktionen)
U: statische Unbestimmtheit

Die Formel gilt ohne b auch für Fachwerke.

Alternativ:

U = k_i +l-3

ki: Anzahl der inneren Knoten

l-3: äußere statische Unbestimmtheit

Mehrteilige Tragwerke:

U = g+l-3n

n: Anzahl der Teilkörper
g: Anzahl der durch die Verbindungselemente übertragenen Kräfte
l: Anzahl der Lagerungen (Lagerkräfte)
U: statische Unbestimmtheit

Das bedeutet, dass bei ebenen mehrteiligen Tragwerken ein freigeschnittenes Gelenk die statische Unbestimmtheit um 1 reduziert.

Statische Bestimmtheit von Fachwerken:

2n = a+z

n: Knoten
z: Stäbe
a: Auflagerreaktionen

Teilaufgaben und Lösungen:

Grafik

Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3

U = 3 \cdot 3+3-3 = 9-fach statisch unbestimmt.

Grafik

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten

U = 70+20+4-2 \cdot 44 = 10

- Bei der Knotenanzahl werden übrigens die Knoten in den Gelenken mitgezählt!
- Die Dreiecke sind keine Bleche!

Somit ist der Schubfeldträger 10-fach statisch unbestimmt.

Grafik
Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3

U = 3 \cdot 4+9-3 = 18-fach statisch unbestimmt.

Grafik

Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten

U = 107+24+6-2 \cdot 64 = 9-fach statisch unbestimmt.

Grafik
Mit der Formel für Rahmentragwerke gilt:

U = 3r+l-3 = 3 \cdot Rahmen+Lagerreaktionen-3

U = 3 \cdot 8+6-3 = 27-fach statisch unbestimmt.

- Unten an den Lagern ist kein Rahmen!
- Die Dreiecke sind auch Rahmen (nicht zu verwechseln mit den Blechen beim Schubfeld)!
Grafik
Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten

U = 20+4+4-2 \cdot 12 = 4-fach statisch unbestimmt.

Alternativ:

U = k_i +l-3

U = innere\:Knoten+Lagerreaktionen-3

U = 3+4-3 = 4-fach statisch unbestimmt.

Grafik
Hergeleitet aus der Schubfeldformel erhalten wir:

U = s+l-2k

U = 4+4-2 \cdot 5 = -2

Damit ist dieses Stabtragwerk 2-fach statisch unterbestimmt und somit labil.

Grafik
Mit der Formel für Schulfelder gilt hier:

U = s+b+l-2k = St\ddot abe+Bleche+Lagerreaktionen-2 \cdot Knoten

U = 25+7+5-2 \cdot 16 = 5-fach statisch unbestimmt.

Grafik
Für den angegebenen Fall mit der angreifenden Kraft F können wir auch folgendes Ersatzsystem betrachten:

Grafik
Mit der Formel für mehrteilige Tragwerke erhalten wir:

U = g+l-3n = Gelenkkr\ddot afte+Lagerreaktionen-3 \cdot Teilk\ddot{o}rper

U = 2+4-3 \cdot 2 = 0-fach statisch unbestimmt = statisch bestimmt

- Wir haben 2 Teilkörper, die durch 1 Gelenk verbunden sind
- Diese Gelenk kann 2 Kräfte übertragen (horizontal und vertikal)
- Die Lagerreaktionen: Oben links 2 und bei den beiden Gleitlagern 1

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