Aufgabe 2.2 – Sigma-Algebra (!)

 

Sei die Menge M: = \left\{ {A \subseteq \mathbb{R}|A\:ist\:endlich\:oder\:A^c \:ist\:endlich} \right\} gegeben.
Ist M eine σ-Algebra über \mathbb{R} ?

Lösung

Es handelt sich bei M um keine σ-Algebra, was man mit einem Widerspruch bei der 3. Bedingung zeigen kann. Der Vollständigkeit halber werden hier allerdings noch einmal kurz alle Bedingungen geprüft. (Für eine ausführlichere Beschreibung der ersten beiden Bedingungen bitte in einem der anderen Artikel zum Thema Sigma-Algebra nachschlagen).

1. Bedingung

Die Grundmenge \mathbb{R} muss enthalten sein. Dies ist sie, weil gilt:
\mathbb{R}^c  = \emptyset  = endlich\quad  \Rightarrow \quad \mathbb{R} \in M

2. Bedingung

Wenn A enthalten ist, muss auch sein Komplement enthalten sein.
Sei A \in M

Fall a:

A ist endlich
\left( {A^c } \right)^c  = A = endlich
A^c ist also enthalten, weil sein Komplement endlich ist.

Fall b:

A^c ist endlich. Damit ist es automatisch in M enthalten.

3. Bedingung

Hier erbringen wir den Gegenbeweis.
Es müsste gelten, dass die Vereinigung aus allen A_i , die in M sind auch wieder in M ist, also dass gilt: A_i  \in M,\quad i \in \mathbb{N}\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \in M}
Seien nun alle A_i  \in M,\quad i \in \mathbb{N}

Seien alle A_i : = \left\{ i \right\} , also die Menge, die genau ein Element (den Index der Menge) enthält.
\Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i }  = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {\left\{ i \right\}}  = \mathbb{N}

Dies ist die Menge der Natürlichen Zahlen.
\Rightarrow \quad \mathbb{N} = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i } ist abzählbar, aber nicht endlich.
Ihr Komplement dagegen ist sogar überabzählbar und somit auch nicht endlich:

\mathbb{N}^c  = \mathbb{R}{{\backslash }}\mathbb{N} ist überabzählbar

\Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \notin M} \quad  \Rightarrow M ist keine σ-Algebra!

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