Aufgabe 23 – Kraftgrößenmethode

Berechnen Sie das unten angegebene Tragwerk den Querkraft und Momentverlauf mittels der
Kraftgrößenmethode. Hinsichtlich der Querkraftbeanspruchung kann der Balken als
schubstarr angesehen werden.

Grafik

Gegeben: EI, l, F

Lösung

Da der Balken schubstarr ist, gilt:

$G \to \infty$

Zunächst müssen wir die statische Unbestimmtheit des Systems ermitteln, was hier recht einfach funktioniert:
Das Lager in der Mitte ist ein Gleitlager und kann nur Kräfte in vertikaler Richtung aufnehmen: 1 Lagerreaktion
Die feste Einspannung links nimmt Kräfte in horizontaler und vertikaler Richtung sowie ein Moment um die z-Achse auf: 3 Lagerreaktionen
Damit erhalten wir 4 unbekannte, die wir mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen (Summen der horizontal- und Vertikalkräfte sowie der Momente) auf eine unbekannte reduzieren können:

$U = 4-3 = 1$

Damit ist das System 1-fach statisch unbestimmt.

Die Idee hinter der Kraftgrößenmethode ist nun, das System in $2 \cdot U$ statisch bestimmte Systeme zu „zerlegen“ und diese anschließend über „Kompatibilitätsbedingungen“ wieder zusammenzufügen.

Um dies ein wenig verständlicher zu machen führen wir es einfach einmal durch.

Um das System statisch bestimmt zu machen, müssten wir eine der Lagerreaktionen „verschwinden“ lassen. Eine Möglichkeit (eine andere machen wir zum Schluss noch) wäre, die feste Einspannung links durch ein Auflager zu ersetzen.
Damit erhalten wir das so genannte „0″-System:

Grafik

Nun kann links kein Drehmoment mehr aufgenommen werden. Es verschwindet also wie beabsichtigt eine Lagerreaktion, wodurch das System jetzt statisch bestimmt und daher vollständig berechenbar ist. Die Lagerreaktion wird nun jedoch nicht einfach weggelassen, sondern in ein zweites System als so genannte „1“-Kraft übernommen.
In diesem System wirkt außer dieser „1“-Kraft keine weitere mehr (denn alle anderen wirkenden Kräfte wurden ja bereits in das „0-System“ eingetragen).
Dieses System nennt man das „1“-System:

Grafik

(auch dieses System ist wie beabsichtigt statisch bestimmt)

Nun betrachten wir die beiden Systeme getrennt voneinander und berechnen für jedes den Querkraft- und Momentverlauf. Dazu brauchen wir als erstes die Auflagerreaktionen:

„0“-System:

Grafik

$A_h = 0$

$A_v +B_v = F$

$0 = 2Fl-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = 2F\quad \Rightarrow \quad A_v = -F$

Schnittlasten:

Grafik

links:

$N_x = 0$

$Q_y = A_v = -F$

$M_z = -x \cdot Q_y = F \cdot x$

rechts:

$N_x = 0$

$Q_y = F$

$M_z = \left( {2l-x} \right) \cdot Q_y = \left( {2l-x} \right) \cdot F$

Querkraftverlauf:

Grafik

Momentverlauf:

Grafik

Nun das gleiche für das andere System.

„1“-System:

Grafik

$A_h = 0$

$A_v = -B_v$

$0 = 1-lB_v \quad \Rightarrow \quad B_v = \frac{1} {l}\quad \Rightarrow \quad A_v = -\frac{1} {l}$

Schnittlasten:

Grafik

links:

$N_x = 0$

$Q_y = A_v = -\frac{1} {l}$

$M_z = -x \cdot Q_y -1 = \frac{1} {l}x-1$

rechts:

$N_x = 0$

$Q_y = 0$

$M_z = 0$

Querkraftverlauf:

Grafik

Momentverlauf:

Grafik

Gesamtsystem

Nun müssen die Verläufe der beiden Einzelsysteme wieder miteinander vereinigt werden. Dafür benötigen wir die folgenden Beziehungen:

Für ein einfach statisch unbestimmtes System gilt:

$Q_{y,ges} = Q_y^0 +X_1 \cdot Q_y^1$

$M_{z,ges} = M_z^0 +X_1 \cdot M_z^1$

$\delta _{10} +X_1 \cdot \delta _{11} = 0\quad \Rightarrow \quad X_1 = -\frac{{\delta _{10} }} {{\delta _{11} }}$

Des weiteren gilt für die δ:

$\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^i {\text{N}}_x^j }} {{EA}}+\frac{{M_y^i M_y^j }} {{EI_y }}+\frac{{M_z^i M_z^j }} {{EI_z }}+\frac{{Q_y^i Q_y^j }} {{GA_{Sy} }}+\frac{{Q_z^i Q_z^j }} {{GA_{Sz} }}+\ldots} \right)dx}$

Da wir jedoch keine Normalkräfte haben und wegen der Schubstarrheit $G \to \infty$ gilt, vereinfacht sich die Formel zu:

$\delta _{ij} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{M_z^i M_z^j }} {{EI}}} \right)dx}$

Eingesetzt und mit Hilfe der Koppeltafel gelöst erhalten wir:

$\delta _{10} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^0} {EI}} \right)dx} = \frac{1} {6} \cdot \frac{{Fl \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}} {{EI}}$

$= -\frac{1} {6}\frac{{Fl^2 }} {{EI}}$

$\delta _{11} = \int\limits_0^l {\left( {\frac{M_z^1 M_z^1} {EI}} \right)dx} = \frac{1} {3} \cdot \frac{{\left( {-1} \right) \cdot \left( {-1} \right) \cdot l}} {{EI}}$