Aufgabe 2.3 – Vereinigung von Sigma-Algebren (!)

 

Sei M: = \left\{ {1,2,3} \right\}. Zeige, dass aus der Vereinigung zweier σ-Algebren über M nicht wieder eine σ-Algebra über M entstehen muss.

Lösung

Zur Lösung bilden wir uns nun einfach zwei σ-Algebren, vereinigen sie und zeigen dann, dass es sich bei der Vereinigung nicht um eine σ-Algebra handelt.

Seien
\Sigma _1  = \left\{ {\emptyset ,M,\left\{ 1 \right\},\left\{ {2,3} \right\}} \right\}
\Sigma _2  = \left\{ {\emptyset ,M,\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,3} \right\}} \right\}

Hinweis: Der Grund, warum wir nicht einfach die kleinste σ-Algebra \left\{ {\emptyset ,M} \right\} gewählt haben, ist der, dass jede Vereinigung mit einer anderen σ-Algebra in diesem Falle auch wieder eine σ-Algebra wäre.

Nun bilden wir die Vereinigung:
\Sigma  = \Sigma _1  \cup \Sigma _2  = \left\{ {\emptyset ,M,\left\{ 1 \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,3} \right\},\left\{ {2,3} \right\}} \right\}

Hierbei handelt es sich aber nun allerdings nicht mehr um eine σ-Algebra, da die 3. Bedingung für eine σ-Algebra hier nicht erfüllt ist. Zur Erinnerung:

Es muss gelten, dass die Vereinigung aus allen A_i , die in M sind auch wieder in M ist, also dass gilt: A_i  \in M,\quad i \in \mathbb{N}\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \in M}
Ein Gegenbeispiel wäre hier:

\left\{ 1 \right\} \cup \left\{ 2 \right\} = \left\{ {1,2} \right\} \notin \Sigma

Somit haben wir gezeigt:

Eine σ-Algebra ist nicht vereinigungsstabil!

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