Aufgabe 2.4 – Borelmengen

 

a) Zeige, dass \left\{ 0 \right\} und \mathbb{Q} \cap \left[ {0,1} \right] Borelmengen von \mathbb{R} sind.
b) –

Lösung

Was sind Borelmengen?
Offene Mengen sind z.B. Borel’sche Mengen.

Versuchen wir also die Menge \left\{ 0 \right\} durch offene Mengen darzustellen.
\left] {-\infty ,0} \right[ \cup \left] {0,\infty } \right[ ist auch eine offene Menge, d.h. sie ist auch eine Borel’sche Menge.

Des Weiteren gilt nun: \mathbb{R}{{\backslash }}\left( {\left] {-\infty ,0} \right[ \cup \left] {0,\infty } \right[} \right) = \left\{ 0 \right\}
Dies ist eine abgeschlossene Menge. Da die abgeschlossenen Teilmengen aber gerade das Komplement der offenen Teilmengen sind gilt:
\left\{ 0 \right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)

Dies bedeutet gleichzeitig: Alle Einpunktmengen sind Borel’sche Mengen.

Aus den Einpunktmengen lassen sich zudem beliebige abzählbare Mengen konstruieren, insbesondere auch \mathbb{Q}.

Da \mathbb{Q} \cap \left[ {0,1} \right] wieder abzählbar ist, folgt daraus \mathbb{Q} \cap \left[ {0,1} \right] \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right).