Aufgabe 2.5 – A-B-Messbarkeit (!)

 

Zeige, dass mit der σ-Algebra \mathcal{A} = \left\{ {\emptyset ,\left\{ {1,3} \right\},\left\{ 2 \right\},\left\{ {1,2,3} \right\}} \right\} über die Menge \left\{ {1,2,3} \right\} die Funktion f:\left\{ {1,2,3} \right\} \to \mathbb{R},\quad f\left( x \right) = \left( {x-2} \right)^2
\mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar ist.

Lösung

Zur Erinnerung:
Eine Abbildung heißt \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar , falls gilt, f^{-1} \left( \mathcal{B} \right) \subseteq \mathcal{A} . D.h. wenn das Urbild von \mathcal{B} Teilmenge von \mathcal{A} ist.

Um die Behauptung zu Beweisen zeigen wir also:
f^{-1} \left( \mathcal{B} \right) \subseteq \mathcal{A}
f^{-1} \left( A \right) \in \mathcal{A},\quad \forall A \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)

Zur Erinnerung:
Die Definition des Urbildes lautet: f^{-1} \left( A \right) = \left\{ {x \in \left\{ {1,2,3} \right\}|f\left( x \right) \in A} \right\}
In Worten ist das Urbild also die Menge aller Elemente, die durch die Funktion f(x) auf A abgebildet werden.

Urbild

Wir berechnen nun zunächst die Funktionswerte der Menge \left\{ {1,2,3} \right\}:
f\left( {\left\{ {1,2,3} \right\}} \right) = \left\{ {0,1} \right\}

Nun betrachten wir das Urbild:

Sei A \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)
Jetzt müssen wir 4 Fälle unterscheiden. Wir wissen nämlich nicht, ob die Funktionswerte \left\{ {0,1} \right\}, die wir grad berechnet haben, auch tatsächlich in der betrachteten Menge A enthalten sind:

1. A \cap \left\{ {0,1} \right\} = \emptyset \quad  \Rightarrow \quad f^{-1} \left( A \right) = \emptyset  \in \mathcal{A}
2. A \cap \left\{ {0,1} \right\} = \left\{ {0,1} \right\}\quad  \Rightarrow \quad f^{-1} \left( A \right) = \left\{ {1,2,3} \right\} \in \mathcal{A}
3. A \cap \left\{ {0,1} \right\} = \left\{ 0 \right\}\quad  \Rightarrow \quad f^{-1} \left( A \right) = \left\{ 2 \right\} \in \mathcal{A}
4. A \cap \left\{ {0,1} \right\} = \left\{ 1 \right\}\quad  \Rightarrow \quad f^{-1} \left( A \right) = \left\{ {1,3} \right\} \in \mathcal{A}

Da alle Urbilder wieder eine Teilmenge von \mathcal{A} sind, ist die Funktion \mathcal{A}-\mathcal{B}-messbar!

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