Zeige, dass mit der σ-Algebra über die Menge die Funktion
ist.

Lösung

Zur Erinnerung:
Eine Abbildung heißt , falls gilt, . D.h. wenn das Urbild von Teilmenge von ist.

Um die Behauptung zu Beweisen zeigen wir also:

Zur Erinnerung:
Die Definition des Urbildes lautet:
In Worten ist das Urbild also die Menge aller Elemente, die durch die Funktion f(x) auf A abgebildet werden.

Wir berechnen nun zunächst die Funktionswerte der Menge :

Nun betrachten wir das Urbild:

Sei
Jetzt müssen wir 4 Fälle unterscheiden. Wir wissen nämlich nicht, ob die Funktionswerte , die wir grad berechnet haben, auch tatsächlich in der betrachteten Menge A enthalten sind:

1.
2.
3.
4.

Da alle Urbilder wieder eine Teilmenge von sind, ist die Funktion !