Aufgabe 26 – Schubfeldtheorie

 

Grafik

Gegeben:
a, Dehnsteifigkeit der Stäbe EA, Schubsteifigkeit der Bleche Gt, F

Gesucht:
a) Normalkraftverläufe in den Stäben
b) Schubflüsse in den Blechen
c) Verschiebung des Verbindungsknotens der beiden Bleche auf der Symmetrielinie

Lösung

Vorüberlegungen

Statische Unbestimmtheit:

U = Stäbe + Bleche + Lagerreaktionen – 2 · Knoten
U = 8 + 2 + 4 – 2 · 7 = 0

äußere statische Unbestimmtheit:

UA = Lagerreaktionen – GGB
UA = = 4 – 3 = 1

Es handelt sich hier um ein symmetrisches System unter symmetrischer Belastung. Das bedeutet, dass die antimetrischen Größen u (Dehnung) und Q (Querkraft) auf der Symmetrieachse = 0 sind

Ersatzsystem:

(rechtes System)
Grafik

a)

Normalkraftverläufe

Um den Normalkraftverlauf zu bestimmen, berechnen wir die Stabkräfte sowie den Schubfluss in den einzelnen Stäben.

Dabei gilt:

\sin \left( {45^\circ } \right) = \cos \left( {45^\circ } \right) = \frac{1} {2}\sqrt 2

Zudem ist der Schubfluss in einem Recheckprofil konstant!

Knoten 4:

Grafik

\sum {H = 0} \quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{41}  = \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{43}

\sum {V = 0} \quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{41}  = -\frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{43}

\Rightarrow \quad S_{41}  = S_{43}  = 0

Knoten 3:

Grafik

\sum H  = 0\quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{34}  = -\frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{32}

\sum {V = 0} \quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{34}  = \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{32} +\sqrt 2 \:F

\Rightarrow \quad S_{32}  = -F = -S_{34}

\Rightarrow \quad S_{34}  = F

Stab 3 – 4:

Grafik

\underbrace {S_{43} }_0+q \cdot a = S_{34} \quad  \Rightarrow \quad q = \frac{F} {a}

Stab 4 – 1:

Grafik

\underbrace {S_{41} }_0+q \cdot a = S_{14} \quad  \Rightarrow \quad S_{14}  = F

Stab 3 – 2:

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S_{23} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{32} }_{-F}\quad  \Rightarrow \quad S_{23}  = -2F

Knoten 1:

Grafik

\sum {V = 0} \quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{14}  = \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{12} \quad  \Rightarrow \quad S_{12}  = S_{14}  = F

\sum H  = 0\quad  \Rightarrow \quad A_H  = -\frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{12} -\frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{14}

\Rightarrow \quad A_H  = -\sqrt 2 \:F

Stab 1 – 2:

Grafik

S_{21} +\underbrace {q \cdot a}_F = \underbrace {S_{12} }_F\quad  \Rightarrow \quad S_{21}  = 0

Damit folgt nun der Normalkraftverlauf:

Grafik

b)

Schubflüsse

Bereits bei a) berechnet:

q = \frac{F} {a}

c)

Verschiebung des Verbindungsknotens

Hier wenden wir die Methode der Fremdarbeit an (auch bekannt als Kraftgrößenverfahren). D.h. wir führen eine „1“-Belastung ein

Damit erhalten wir folgendes Ersatzsystem:
(hier ist die Kraft nur ½, da die „1“-Belastung auf die beiden Teilsysteme aufgeteilt wird)

Knoten 4:

Grafik

Wie bei a) gilt auch hier, dass die Stabkräfte an einem freien Knoten verschwinden:

\Rightarrow \quad S_{41}  = S_{43}  = 0

Knoten 3:

Grafik

Hier gilt das gleiche wie bei Knoten 2:

\Rightarrow \quad S_{34}  = S_{32}  = 0

Stab 3 – 4:

Grafik

\underbrace {S_{43} }_0+q_1  \cdot a = \underbrace {S_{34} }_0\quad  \Rightarrow \quad q_1  = 0

Knoten 1:

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Hier müssen wir lediglich noch die fehlende Stabkraft S12 berechnen, die wir über das vertikale Gleichgewicht bekommen:

\sum {V = 0} \quad  \Rightarrow \quad \frac{1} {2}\sqrt 2 \:\underbrace {S_{14} }_0 = \frac{1} {2}\sqrt 2 \:S_{12} +\frac{1} {2}

\Rightarrow \quad S_{12}  = -\frac{1} {{\sqrt 2 }} = -\frac{{\sqrt 2 }} {2}

Damit folgt für den Verlauf im „1“-System:

Grafik

Für die Verschiebung gilt nun (ausgehend von der Formel für die Verschiebungseinflusszahlen):

\delta _{ij}  = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^i {\text{N}}_x^j }} {{EA}}+\frac{{M_y^i M_y^j }} {{EI_y }}+\frac{{M_z^i M_z^j }} {{EI_z }}+\frac{{Q_y^i Q_y^j }} {{GA_{Sy} }}+\frac{{Q_z^i Q_z^j }} {{GA_{Sz} }}+\ldots} \right)dx}

v = \delta _{10}  = \int\limits_0^l {\left( {\frac{{N_x^1 N_x^0 }} {{EA}}} \right)dx}  = \left( {\frac{1} {2} \cdot \frac{{-\sqrt 2 }} {2} \cdot F \cdot a} \right) \cdot 2

= -\frac{{\sqrt 2 }} {2}Fa

Das Integral wird mit hilfe der Koppeltafel berechnet. Der Term in der Klammer muss mit 2 Multipliziert werden, da wir nun das linke System auch wieder mit einbeziehen müssen.

\mathcal{J}\mathcal{K}