Aufgabe 3.5 – Treppenfunktionen

Betrachten Sie das Lebesgue-Maß $\lambda$ auf $\left( {\mathbb{R},\mathcal{B}} \right)$ . Sei $M \subseteq \mathbb{R}$ eine Lebesgue-Nullmenge, also $\lambda \left( M \right) = 0$ .

Existiert dann notwendig ein Punkt $x \in \mathbb{R}$ mit

$\left\{ {x+q:q \in \mathbb{Q}} \right\} \cap M = 0\quad$ ?

Lösung

Bestimmen einer Treppenfunktion f_k:

1. Unterteile den Bildbereich zunächst in zwei Intervalle

$\left[ {0,k} \right[,\quad \left[ {k,\infty } \right[$

Unterteile $\left[ {0,k} \right[$ weiter in gleichgroße Teilintervalle:

$\left[ {\frac{{i-1}} {{2^k }},\frac{i} {{2^k }}} \right[,\quad i = 1,\ldots,k \cdot 2^k$

2. Bestimme

$f^{-1} \left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{2^k }},\frac{i} {{2^k }}} \right[} \right),\quad i = 1,\ldots,k \cdot 2^k$

und

$f^{-1} \left( {\left[ {k,\infty } \right[} \right)$

Bezeichnung für die beiden Urbilder: A_k,i, A_k,∞

$f_k \left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{k \cdot 2^k } {\frac{{i-1}} {{2^k }} \cdot I_{A_{k,i} } \left( x \right)+k \cdot } I_{A_{k,\infty } } \left( x \right)$

Beispiel

für k = 1:

$\left[ {0,1} \right[,\quad \left[ {1,\infty } \right[$

$\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[,\quad \left[ {\frac{1} {2},1} \right[$

$A_{1,1} = f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[} \right),\quad \quad A_{1,2} = f^{-1} \left( {\left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \right),\quad \quad A_{1,\infty } = f^{-1} \left( {\left[ {1,\infty } \right[} \right)$

$f_1 \left( x \right) = 0 \cdot I_{A_{1,1} } \left( x \right)+\frac{1} {2} \cdot I_{A_{1,2} } \left( x \right)+1 \cdot I_{A_{1,\infty } } \left( x \right)$

Angewendet auf die Aufgabenstellung:

a )

$x \mapsto \left| x \right|$

k = 1: erster Schritt klar,

zweiter Schritt:

$A_{1,1} = f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[} \right) = \left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[$

$A_{1,2} = f^{-1} \left( {\left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \right) = \left] {-1,-\frac{1} {2}} \right] \cup \left[ {\frac{1} {2},1} \right[$

$A_{1,\infty } = f^{-1} \left( {\left[ {1,\infty } \right[} \right) = \left] {-\infty ,-1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right[$

dritter Schritt:

$f_1 \left( x \right) = 0 \cdot I_{\left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[} \left( x \right)+\frac{1} {2} \cdot I_{\left] {-1,-\frac{1} {2}} \right] \cup \left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \left( x \right)+1 \cdot I_{\left] {-\infty ,-1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right[}$