Aufgabe 3.5 – Treppenfunktionen

 

Betrachten Sie das Lebesgue-Maß \lambda auf \left( {\mathbb{R},\mathcal{B}} \right). Sei M \subseteq \mathbb{R} eine Lebesgue-Nullmenge, also \lambda \left( M \right) = 0.

Existiert dann notwendig ein Punkt x \in \mathbb{R} mit

\left\{ {x+q:q \in \mathbb{Q}} \right\} \cap M = 0\quad ?

Lösung

Bestimmen einer Treppenfunktion fk:

1. Unterteile den Bildbereich zunächst in zwei Intervalle

\left[ {0,k} \right[,\quad \left[ {k,\infty } \right[

Unterteile \left[ {0,k} \right[ weiter in gleichgroße Teilintervalle:

\left[ {\frac{{i-1}} {{2^k }},\frac{i} {{2^k }}} \right[,\quad i = 1,\ldots,k \cdot 2^k

2. Bestimme

f^{-1} \left( {\left[ {\frac{{i-1}} {{2^k }},\frac{i} {{2^k }}} \right[} \right),\quad i = 1,\ldots,k \cdot 2^k

und

f^{-1} \left( {\left[ {k,\infty } \right[} \right)

Bezeichnung für die beiden Urbilder: Ak,i, Ak,∞

3.

f_k \left( x \right) = \sum\limits_{i = 1}^{k \cdot 2^k } {\frac{{i-1}} {{2^k }} \cdot I_{A_{k,i} } \left( x \right)+k \cdot } I_{A_{k,\infty } } \left( x \right)

Beispiel

für k = 1:

1.

\left[ {0,1} \right[,\quad \left[ {1,\infty } \right[

\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[,\quad \left[ {\frac{1} {2},1} \right[

2.

A_{1,1}  = f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[} \right),\quad \quad A_{1,2}  = f^{-1} \left( {\left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \right),\quad \quad A_{1,\infty }  = f^{-1} \left( {\left[ {1,\infty } \right[} \right)

3.

f_1 \left( x \right) = 0 \cdot I_{A_{1,1} } \left( x \right)+\frac{1} {2} \cdot I_{A_{1,2} } \left( x \right)+1 \cdot I_{A_{1,\infty } } \left( x \right)

Angewendet auf die Aufgabenstellung:

a )

x \mapsto \left| x \right|

k = 1: erster Schritt klar,

zweiter Schritt:

A_{1,1}  = f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[} \right) = \left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[

A_{1,2}  = f^{-1} \left( {\left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \right) = \left] {-1,-\frac{1} {2}} \right] \cup \left[ {\frac{1} {2},1} \right[

A_{1,\infty }  = f^{-1} \left( {\left[ {1,\infty } \right[} \right) = \left] {-\infty ,-1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right[

dritter Schritt:

f_1 \left( x \right) = 0 \cdot I_{\left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[} \left( x \right)+\frac{1} {2} \cdot I_{\left] {-1,-\frac{1} {2}} \right] \cup \left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \left( x \right)+1 \cdot I_{\left] {-\infty ,-1} \right] \cup \left[ {1,\infty } \right[}

zweite Annäherung: k = 2

erster Schritt klar,

zweiter Schritt:

A_{2,1}  = f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {4}} \right[} \right) = \left] {-\frac{1} {4},\frac{1} {4}} \right[

A_{2,2}  = \left] {-\frac{1} {2},-\frac{1} {4}} \right[ \cup \left] {\frac{1} {4},\frac{1} {2}} \right[

A_{2,8}  = \left] {-2,-\frac{7} {4}} \right[ \cup \left] {\frac{7} {4},2} \right[

A_{2,\infty }  = \left] {-\infty ,-2} \right[ \cup \left] {2,\infty } \right[

b )

x \mapsto \frac{1} {{x^2 }}

k = 1:

erster Schritt ist klar

zweiter Schritt:

f^{-1} \left( {\left[ {0,\frac{1} {2}} \right[} \right) = \left] {-\infty ,-\sqrt 2 } \right[ \cup \left] {\sqrt 2 ,\infty } \right[

A_{2,2}  = f^{-1} \left( {\left[ {\frac{1} {2},1} \right[} \right)

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