Aufgabe 3.1 – B-B-messbarkeit monotoner Funktionen

 

Zeige, dass jede monotone Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \mathcal{B}-\mathcal{B}-messbar ist.

Lösung

1.) Sei

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

monoton. Erweitere f zu

\bar f:\mathbb{R} \to \bar{\mathbb{R}}

, also zu einer numerischen Funktion.

Zur Erinnerung:
\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \left\{ {-\infty ,\infty } \right\}

Wir unterscheiden nun 2 Fälle:

1. f ist monoton steigend:

Damit gilt für die Menge
\left\{ {f \leq c} \right\} = \left\{ {\omega \in \mathbb{R}:f\left( \omega \right) \leq c} \right\} = \left] {-\infty ,a\left( c \right)} \right]
dies ist ein Halboffenes Intervall und wie wir wissen sind die Halboffenen Intervalle Elemente der Borel’schen Menge, also ist \left] {-\infty ,a\left( c \right)} \right] \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)

für c \in \mathbb{R}

Monoton steigende Funktion

2. f ist monoton fallend:

Hier gilt analog zum 1. Fall:
\left\{ {f \geq c} \right\} = \left\{ {\omega \in \mathbb{R}:f\left( \omega \right) \geq c} \right\} = \left] {-\infty ,a\left( c \right)} \right] \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right)

Monoton fallendeFunktion

Daraus folgt, dass sowohl f als auch {\bar f} \mathcal{B}-\mathcal{B}-messbar sind.

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