Aufgabe 3.2 – Lebesgue-Maß

 

Sei \lambda ^n das Lebesgue-Maß auf \left( {\mathbb{R}^n ,\mathcal{B}^n } \right).

a) Berechne \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[} \right),\quad \lambda \left( {\left\{ 0 \right\}} \right),\quad \lambda \left( \mathbb{Q} \right),\quad \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right)\quad und\quad \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[{{\backslash }}\mathbb{Q}} \right)

b) Berechne \lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left[ {0,1} \right[} \right),\quad \lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left\{ 0 \right\}} \right)\quad und\quad \lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \mathbb{Q}} \right)

Lösung

Das Lebesgue-Maß:

In jeder Dimension n \in \mathbb{N} gibt es genau ein Maß \lambda ^n :\mathcal{B}^n  \to \left[ {0,\infty } \right]
so dass für jedes n-dimensionale Intervall \left] {a,b} \right] = \left] {a_1 ,b_1 } \right] \times \ldots \times \left] {a_n ,b_n } \right] \subset \mathbb{R}^n gilt:
\lambda ^n \left( {\left] {a,b} \right]} \right) = \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {b_i -a_i } \right)}
\lambda ^n ist das so genannte (n-dimensionale) Lebesgue-Maß.

Es gilt also:

\lambda \left( {\left[ {a,b} \right[} \right) = b-a

Damit gilt:

\lambda \left( {\left[ {0,1} \right[} \right) = 1-0 = 1

Für \lambda \left( {\left\{ 0 \right\}} \right) können wir das Maß bestimmen, indem wir den Grenzwert eines Intervalls bilden:
\lambda \left( {\left\{ 0 \right\}} \right) = \lim \limits_{k \to \infty } \lambda \left( {\left[ {0,\frac{1} {k}} \right[} \right) = \lim \limits_{k \to \infty } \frac{1} {k} = 0

Damit gilt für jede Einpunktmenge:

\lambda \left( {\left\{ x \right\}} \right) = 0\quad \forall x \in \mathbb{R}

denn \lim \limits_{k \to \infty } \lambda \left( {\left[ {x,x+\frac{1} {k}} \right[} \right) =  \lim \limits_{k \to \infty } \left( {x+\frac{1} {k}-x} \right) = \lim \limits_{k \to \infty } \frac{1} {k} = 0

Um \lambda \left( \mathbb{Q} \right) zu berechnen gehen wir folgenden Weg:

\mathbb{Q} ist abzählbar unendlich, das heißt

\exists q:\mathbb{N} \to \mathbb{Q},\quad n \mapsto q_n

dabei sind die qn paarweise disjunkt.

Es folgt:

\lambda \left( \mathbb{Q} \right) = \lambda \left( {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {\left\{ {q_n } \right\}} } \right)\underbrace  = _{wegen\:Disjunktheit}\sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \lambda  \left( {\left\{ {q_n } \right\}} \right)\underbrace  = _{weil\:Einpunktmenge}0

Weil

\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q} \leq \mathbb{Q}

gilt:

0 \leq \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right) \leq \lambda \left( \mathbb{Q} \right) = 0

also:

\lambda \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right) = 0

Für das letzte Maß gilt:

\left[ {0,1} \right[ = \left( {\left[ {0,1} \right[{{\backslash }}\mathbb{Q}} \right) \cup \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right)

Aufgrund der Disjunktheit der beiden Mengen auf der rechten Seite können wir schreiben:

\lambda \left( {\left[ {0,1} \right[} \right) = \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[\backslash \mathbb{Q}} \right)+\lambda \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right)

\Rightarrow \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[\backslash \mathbb{Q}} \right) = \lambda \left( {\left[ {0,1} \right[} \right)-\lambda \left( {\left[ {0,1} \right[ \cap \mathbb{Q}} \right) = 1-0 = 1

b )

Nach obiger Definition des Lebesgue-Maßes gilt:
\lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left[ {0,1} \right[} \right) = 1 \cdot 1 = 1

\lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left\{ 0 \right\}} \right) = 0

weil
0 \le \lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left\{ 0 \right\}} \right) \le {\inf }\limits_{k \in \mathbb{N}} \lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \left[ {0,\frac{1} {k}} \right[} \right) = {\inf }\limits_{k \in \mathbb{N}} 1\cdot\frac{1} {k} = 0

oder kurz:

\lambda ^2 \left( {\underbrace {\left[ {0,1} \right[}_1 \times \underbrace {\left\{ 0 \right\}}_0} \right) = 1 \cdot 0 = 0

\lambda ^2 \left( {\left[ {0,1} \right[ \times \mathbb{Q}} \right) = 0

(Begründung siehe a)

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