Aufgabe 3.4 – Messraum, Maßraum, Maß und µ-Nullmengen (!)

 

Sei \left( {a_n } \right)_{n \in \mathbb{N}}, eine reelle Folge mit a_n  \geq 0 und
\mu :\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) \to \left[ {0,\infty } \right]\quad ,\quad A \mapsto \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n I_{A\left( n \right)} }
wobei \mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) die Potenzmenge von \mathbb{N} ist und
I_A :\mathbb{N} \to \mathbb{R}\quad ,\quad m \mapsto \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\quad falls\:m \in A  \\ {0\quad falls\:m \in \mathbb{N}{{\backslash }}A}  \\  \end{array} } \right.
die Indikatorfunktion der Menge A ist.

a) Zeige, dass \left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right),\mu } \right) ein Maßraum ist.
b) Bestimme alle µ-Nullmengen von \mathbb{N}, also alle Teilmengen B \subseteq \mathbb{N} mit \mu \left( B \right) = 0.

Lösung

Teilaufgabe a)

Behauptung: \left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right),\mu } \right) ist ein Maßraum.

Zuerst einmal die Definition eines Maßraumes:

Ist \left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right) ein Messraum und \mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}} ein Maß, so heißt das Tripel \left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu } \right) Maßraum.

Daher zeigen wir zunächst, dass es sich bei dem Tupel \left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)} \right) um einen Messraum handelt.

Definition eines Messraumes:

Ist \mathcal{F} eine σ-Algebra über Ω, so heißt das Tupel \left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right) Messraum.

Typische Messräume sind z.B.: \left( {\Omega ,\mathcal{P}\left( \Omega  \right)} \right),\quad \left( {\mathbb{R}^n ,\mathcal{B}^n } \right),\quad \left( {\bar {\mathbb{R}},\bar {\mathcal{B}}} \right)

Da \mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) eine σ-Algebra (sogar die größte) über \mathbb{N} ist, handelt es sich bei dem Tupel \left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)} \right) also um einen Messraum.
Nun müssen wir zeigen, dass \mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}} auch ein Maß ist.

Definition ((σ-endliches) Maß):

Sei \left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right) ein Messraum.
Eine Funktion \mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}} heißt Maß, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(M1) \mu \left( \emptyset  \right) = 0

(M2) \mu \left( A \right) \geq 0 für alle A \in \mathcal{F}

(M3) für jede Folge \left( {A_n } \right)_{n \in \mathbb{N}} disjunkter Mengen aus \mathcal{F} gilt:

\mu \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {A_n } } \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\mu \left( {A_n } \right)} (σ-Additivität)

Gibt es eine Folge \left( {A_n } \right) von Mengen \mathcal{F} mit \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {A_n }  = \Omega und \mu \left( {A_n } \right) < \infty für alle n \in \mathbb{N}, so heißt µ σ-endlich.

Wir müssen nun zeigen, dass alle Bedingungen für unser µ erfüllt sind:

(M1) Es gilt: \mu \left( \emptyset  \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n I_{\emptyset \left( n \right)} }  = 0, denn die leere Menge enthält kein Element, womit die Indikatorfunktion immer 0 als Wert liefert.

(M2) Es gilt: \mu \left( A \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\underbrace {a_n }_{ \geq 0} \cdot \underbrace {I_{A\left( n \right)} }_{ \in \left\{ {0,1} \right\}}}  \geq 0

(M3) Seien \left( {A_n } \right)_{n \in \mathbb{N}} paarweise disjunkte Teilmengen von \mathbb{N}.

I_{\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n } \left( m \right)}  = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {I_{A_n \left( m \right)} }

es folgt:

\mu \left( {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n } } \right) = \sum\limits_{m = 1}^\infty  {a_m I_{{\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n }  _{\left( m \right)} }}}  = \sum\limits_{m = 1}^\infty  {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_m I_{{A_n } _{\left( m \right)} } }}  = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^\infty  {a_m I_{{A_n } _{\left( m \right)}} } }

= \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\mu \left( {A_n } \right)}

q.e.d.

Teilaufgabe b)

Beispiel:
\mu \left( {\left\{ 3 \right\}} \right) = 0, denn das Maß jeder Punktmenge ist 0.

I_{\left\{ 3 \right\}} \left( 3 \right) = 1, denn 3 ist Element von {3}.
Aus
\mu \left( B \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty  {a_n I_B \left( n \right) = 0}
folgt wegen a_n  \geq 0 sofort trivialerweise a_n  = 0 für jedes n \in B

Umgekehrt ist jede Teilmenge von

\left\{ {n \in \mathbb{N}:a_n  = 0} \right\}

eine μ-Nullmenge. Die μ-Nullmengen sind gerade

\mathcal{P}\left\{ {n \in \mathbb{N}:a_n  = 0} \right\}

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen