Aufgabe 3.4 – Messraum, Maßraum, Maß und µ-Nullmengen (!)

Sei $\left( {a_n } \right)_{n \in \mathbb{N}}$ , eine reelle Folge mit $a_n \geq 0$ und
$\mu :\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right) \to \left[ {0,\infty } \right]\quad ,\quad A \mapsto \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n I_{A\left( n \right)} }$
wobei $\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)$ die Potenzmenge von $\mathbb{N}$ ist und
$I_A :\mathbb{N} \to \mathbb{R}\quad ,\quad m \mapsto \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\quad falls\:m \in A \\ {0\quad falls\:m \in \mathbb{N}{{\backslash }}A} \\ \end{array} } \right.$
die Indikatorfunktion der Menge A ist.

a) Zeige, dass $\left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right),\mu } \right)$ ein Maßraum ist.
b) Bestimme alle µ-Nullmengen von $\mathbb{N}$ , also alle Teilmengen $B \subseteq \mathbb{N}$ mit $\mu \left( B \right) = 0$ .

Lösung

Teilaufgabe a)

Behauptung: $\left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right),\mu } \right)$ ist ein Maßraum.

Zuerst einmal die Definition eines Maßraumes:

Ist $\left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right)$ ein Messraum und $\mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}}$ ein Maß, so heißt das Tripel $\left( {\Omega ,\mathcal{F},\mu } \right)$ Maßraum.

Daher zeigen wir zunächst, dass es sich bei dem Tupel $\left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)} \right)$ um einen Messraum handelt.

Definition eines Messraumes:

Ist $\mathcal{F}$ eine σ-Algebra über Ω, so heißt das Tupel $\left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right)$ Messraum.

Typische Messräume sind z.B.: $\left( {\Omega ,\mathcal{P}\left( \Omega \right)} \right),\quad \left( {\mathbb{R}^n ,\mathcal{B}^n } \right),\quad \left( {\bar {\mathbb{R}},\bar {\mathcal{B}}} \right)$

Da $\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)$ eine σ-Algebra (sogar die größte) über $\mathbb{N}$ ist, handelt es sich bei dem Tupel $\left( {\mathbb{N},\mathcal{P}\left( \mathbb{N} \right)} \right)$ also um einen Messraum.
Nun müssen wir zeigen, dass $\mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}}$ auch ein Maß ist.

Definition ((σ-endliches) Maß):

Sei $\left( {\Omega ,\mathcal{F}} \right)$ ein Messraum.
Eine Funktion $\mu :\mathcal{F} \to \bar{\mathbb{R}}$ heißt Maß, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(M1) $\mu \left( \emptyset \right) = 0$

(M2) $\mu \left( A \right) \geq 0$ für alle $A \in \mathcal{F}$

(M3) für jede Folge $\left( {A_n } \right)_{n \in \mathbb{N}}$ disjunkter Mengen aus $\mathcal{F}$ gilt:

$\mu \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n } } \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\mu \left( {A_n } \right)}$ (σ-Additivität)

Gibt es eine Folge $\left( {A_n } \right)$ von Mengen $\mathcal{F}$ mit $\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_n } = \Omega$ und $\mu \left( {A_n } \right) < \infty$ für alle $n \in \mathbb{N}$ , so heißt µ σ-endlich.

Wir müssen nun zeigen, dass alle Bedingungen für unser µ erfüllt sind:

(M1) Es gilt: $\mu \left( \emptyset \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n I_{\emptyset \left( n \right)} } = 0$ , denn die leere Menge enthält kein Element, womit die Indikatorfunktion immer 0 als Wert liefert.

(M2) Es gilt: $\mu \left( A \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\underbrace {a_n }_{ \geq 0} \cdot \underbrace {I_{A\left( n \right)} }_{ \in \left\{ {0,1} \right\}}} \geq 0$

(M3) Seien $\left( {A_n } \right)_{n \in \mathbb{N}}$ paarweise disjunkte Teilmengen von $\mathbb{N}$ .

$I_{\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n } \left( m \right)} = \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {I_{A_n \left( m \right)} }$

es folgt:

$\mu \left( {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n } } \right) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {a_m I_{{\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {A_n } _{\left( m \right)} }}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_m I_{{A_n } _{\left( m \right)} } }} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sum\limits_{m = 1}^\infty {a_m I_{{A_n } _{\left( m \right)}} } }$

$= \sum\limits_{n = 1}^\infty {\mu \left( {A_n } \right)}$

q.e.d.

Teilaufgabe b)

Beispiel:
$\mu \left( {\left\{ 3 \right\}} \right) = 0$ , denn das Maß jeder Punktmenge ist 0.

$I_{\left\{ 3 \right\}} \left( 3 \right) = 1$ , denn 3 ist Element von {3}.
Aus
$\mu \left( B \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n I_B \left( n \right) = 0}$
folgt wegen $a_n \geq 0$ sofort trivialerweise $a_n = 0$ für jedes $n \in B$