Aufgabe 4.1 – Bildmaß (!)

 

Betrachte \left( {\mathbb{R},\mathcal{B},\lambda } \right), \left( {\mathbb{R},\mathcal{B}} \right) und die Abbildung

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\quad ,\quad x \mapsto x+a

Zeige, dass man durch f ein Bildmaß \lambda _f auf \mathbb{R} erhält und dass für eine Menge A \in \mathcal{B} gilt

\lambda _f \left( A \right) = \lambda \left( A \right)

Lösung

Definition des Bildmaßes:

Ist \left( {\Omega _1 ,\mathcal{F}_1 ,\mu } \right) ein Maßraum, \left( {\Omega _2 ,\mathcal{F}_2 } \right) ein Messraum und f:\Omega _1  \to \Omega _2 messbar, so heißt

\mu _f :\mathcal{F}_2  \to \left[ {0,\infty } \right]\quad ,\quad B \mapsto \mu _f \left( B \right): = \mu \left( {f^{-1} \left( B \right)} \right)

Bildmaß \mu _f von \mu unter f.

\left( {\mathbb{R},\mathcal{B}} \right) ist per Definition ein Messraum, da \mathcal{B} eine σ-Algebra über \mathbb{R} ist.

\left( {\mathbb{R},\mathcal{B},\lambda } \right) sei somit ein Maßraum.

Da die Abbildung f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad x \mapsto x+a stetig ist, ist sie auch messbar!

Für eine Menge A \in \mathcal{B} des Messraumes ist aufgrund der Abbildungsvorschrift f^{-1} \left( A \right) = A-a

und daher

\lambda _f \left( A \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( A \right)} \right) = \lambda \left( {A-a} \right) = \lambda \left( A \right)\quad ,\quad A \in \mathcal{B}

\lambda \left( {A-a} \right) = \lambda \left( A \right) gilt aufgrund der Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes.

Fertig!