Aufgabe 4.2 – Messbarkeit, Bildmaß

 

Gegeben sei der Maßraum \left( {\mathbb{R},\mathcal{B},\lambda } \right) und der Messraum \left( {\Omega ,\mathcal{P}\left( \Omega  \right)} \right) mit \Omega  = \left\{ {-1,0,1} \right\}.
Sei weiter
f:\mathbb{R} \to \Omega :\quad \omega  \mapsto \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} - 1 & {falls} & {\omega  \in \left] {0,5} \right]}  \\  0 & {falls} & {\omega  = 0}  \\ 1 & {sonst} & {}  \\  \end{array} } \right.
eine Funktion.

a) Zeige, dass f\quad \mathcal{B}-\mathcal{P}-messbar ist.

b) Bestimme das Bildmaß \mu :\mathcal{P}\left( \Omega  \right) \to \bar{\mathbb{R}},\quad B \mapsto \mu \left( B \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( B \right)} \right)

Lösung

(Genauere Erläuterung der A-B-messbarkeit in Aufgabe 2.5)

a)

… d.h. wir müssen zeigen, dass alle Urbilder von \mathcal{P}\left( \Omega  \right) in \mathcal{B} liegen.

Bestimmen wir also die Urbilder von
\mathcal{P}\left( \Omega  \right) = \left\{ {\emptyset ,\Omega ,\left\{ {-1} \right\},\left\{ 0 \right\},\left\{ 1 \right\},\left\{ {-1,0} \right\},\left\{ {-1,1} \right\},\left\{ {0,1} \right\}} \right\}

f^{-1} \left( \emptyset  \right) = \emptyset  \in \mathcal{B}, ist klar, eine leere Menge nur eine leere Menge zurückgeben kann.
f^{-1} \left( \Omega  \right) = \mathbb{R} \in \mathcal{B}, gilt aufgrund der Abbildung f:\mathbb{R} \to \Omega
f^{-1} \left( {\left\{ {-1} \right\}} \right) = \left] {0,5} \right] \in \mathcal{B}, denn „-1“ erhalten wir, wenn gilt \omega  \in \left] {0,5} \right]
f^{-1} \left( {\left\{ 0 \right\}} \right) = \left\{ 0 \right\} \in \mathcal{B}
f^{-1} \left( {\left\{ 1 \right\}} \right) = \mathbb{R}\backslash \left[ {0,5} \right] \in \mathcal{B}, denn „1“ erhalten wir im Falle „sonst“, also für alle Elemente der Grundmenge \mathbb{R}, außer eben \left] {0,5} \right] und 0.
f^{-1} \left( {\left\{ {-1,0} \right\}} \right) = 0 \cup \left] {0,5} \right] = \left[ {0,5} \right] \in \mathcal{B}
f^{-1} \left( {\left\{ {-1,1} \right\}} \right) = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} \in \mathcal{B}
f^{-1} \left( {\left\{ {0,1} \right\}} \right) = \mathbb{R}\backslash \left] {0,5} \right] \in \mathcal{B}

Da nun gezeigt wurde, dass alle Urbilder von \mathcal{P}\left( \Omega  \right) in \mathcal{B} liegen ist f also \mathcal{B}-\mathcal{P}-messbar.

b)

Wie sollen das Bildmaß \mu :\mathcal{P}\left( \Omega  \right) \to \bar{\mathbb{R}},\quad B \mapsto \mu \left( B \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( B \right)} \right) bestimmen

B ist hierbei ein Element von \mathcal{P}\left( \Omega  \right) und \lambda ist das Lebesgue-Maß, welches auch in Aufgabe 3.2 schon erläutert wurde. Um das Bildmaß zu bestimmen, müssen wir alle Ergebnisse berechnen, die uns
\mu \left( B \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( B \right)} \right) liefern kann.

\mu \left( \emptyset  \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( \emptyset  \right)} \right) = \lambda \left( \emptyset  \right) = 0

\mu \left( \Omega  \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( \Omega  \right)} \right) = \lambda \left( \mathbb{R} \right) = \infty

\mu \left( {\left\{ {-1} \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ {-1} \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\left] {0,5} \right]} \right) = 5-0 = 5

\mu \left( {\left\{ 0 \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ 0 \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\left\{ 0 \right\}} \right) = 0

\mu \left( {\left\{ 1 \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ 1 \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\mathbb{R}\backslash \left[ {0,5} \right]} \right) = \infty

\mu \left( {\left\{ {-1,0} \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ {-1,0} \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\left[ {0,5} \right]} \right) = 5-0 = 5

\mu \left( {\left\{ {-1,1} \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ {-1,1} \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}} \right) = \infty

\mu \left( {\left\{ {0,1} \right\}} \right) = \lambda \left( {f^{-1} \left( {\left\{ {0,1} \right\}} \right)} \right) = \lambda \left( {\mathbb{R}\backslash \left] {0,5} \right]} \right) = \infty

Das Bildmaß besteht also aus \left\{ {0,5,\infty } \right\}.

Fertig!

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