Aufgabe 7.2 – allgemeine Lösung von Differentialgleichungen

 

Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen

  1. y^{\prime\prime} \left( x \right)-2y^{\prime} \left( x \right)+1y \left( x \right) = 0

  2. y^{\prime\prime} \left( x \right) +2y ^{\prime} \left( x \right) -3y \left( x \right) = e^x +\sin \left( x \right)

Lösung

a )

y^{\prime\prime} -2y ^{\prime}+y = 0

charakteristische Gleichung:

\lambda ^2 -2\lambda +1 = \left( {\lambda -1} \right)^2 = 0

\Rightarrow \lambda _{1,2} = 1

Da es eine doppelte Nullstelle gibt, muss die Konstante variiert werden. Das Ergebnis lautet:

y\left( x \right) = y_h \left( x \right) = c_1 e^x +c_2 xe^x ,\quad \quad \quad c_1 ,c_2 \in \mathbb{R}

b )

y^{\prime\prime} +2y ^{\prime}-3y = e^x +\sin x

charakteristische Gleichung:

\lambda ^2 +2\lambda -3 = 0

\Rightarrow \left( {\lambda +1} \right)^2 = 4\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \lambda _{1,2} = 1,-3

y_h \left( x \right) = c_1 e^{-3x} +c_2 e^x ,\quad \quad \quad c_1 ,c_2 \in \mathbb{R}

Wir suchen nun eine partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten. Dazu nutzen wir die Fundamentalmatrix X und schreiben

y_p = Xc

In die Differentialgleichung eingesetzt ergibt sich daraus:

y ^{\prime}= Ay+b = X ^{\prime}c+Xc ^{\prime}= AXc+b

X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} y_1 & {y_2 } \\ {y_1 ^{\prime}} & {y_2 ^{\prime}} \\ \end{array} } \right)

b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ f \\ \end{array} } \right)

f\left( x \right) = e^x +\sin x

y_1 c_1 ^{\prime}+y_2 c_2 ^{\prime}= 0\quad \quad \wedge \quad \quad y_1 ^{\prime}c_1 ^{\prime}+y_2 ^{\prime}c_2 ^{\prime}= f

\left( I \right):\quad \quad \underbrace {c_1 ^{\prime}e^{-3x} +c_2 ^{\prime}e^x = 0}_{-c_1 e^{-3x} = c_2 ^{\prime}e^x }\quad \quad \wedge \quad \quad -3c_1 ^{\prime}e^{-3x} +c_2 ^{\prime}e^x = e^x

-3c_1 ^{\prime}e^{-3x} -c_1 ^{\prime}e^{-3x} = -4c_1 ^{\prime}e^{-3x} = e^x

c_1 ^{\prime}= -\frac{1} {4}e^{4x} \quad \quad \Rightarrow \quad \quad c_1 = -\frac{1} {{16}}e^{4x}

c_2 ^{\prime}= \frac{1} {4}e^{4x} e^{-3x} e^{-x} = \frac{1} {4}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad c_2 = \frac{1} {4}x

y_{1p} \left( x \right) = -\frac{1} {{16}}e^{4x} e^{-3x} +\frac{1} {4}xe^x = -\frac{1} {{16}}e^x +\frac{1} {4}xe^x

Zweiter Schritt:

\left( {II} \right):\quad \quad y_1 c_1 ^{\prime}+y_2 c_2 ^{\prime}= 0\quad \quad \wedge \quad \quad y_1 ^{\prime}c_1 ^{\prime}+y_2 ^{\prime}c_2 ^{\prime}= \sin x

-c_1 ^{\prime}e^{-3x} = c_2 ^{\prime}e^x \quad \quad \wedge \quad \quad -3c_1 ^{\prime}e^{-3x} +c_2 ^{\prime}e^x = \sin x

-3c_1 ^{\prime}e^{-3x} -c_1 ^{\prime}e^{-3x} = -3c_1 ^{\prime}e^{-3x} = \sin x

c_1 ^{\prime}= -\frac{1} {4}e^{3x} \sin x

c_1 = -\frac{1} {4}\int_{}^{} {e^{3x} \sin xdx} = -\frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\int_{}^{} {e^{\left( {3+i} \right)x} dx} } \right\}

= -\frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\frac{1} {{3+i}}e^{\left( {3+i} \right)x} } \right\} = -\frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\frac{{3-i}} {{10}}e^{\left( {3+i} \right)x} } \right\}

= -\frac{1} {4}\left( {e^{3x} \operatorname{Im} \left\{ {\frac{{3-i}} {{10}}\left( {\cos x+i\sin x} \right)} \right\}} \right)

= -\frac{1} {4}e^{3x} \left( {\frac{3} {{10}}\sin x-\frac{1} {{10}}\cos x} \right)

Nun suchen wir die Funktion c2:

c_2 ^{\prime}= \frac{1} {4}e^{3x} \sin xe^{-3x} e^{-x} = \frac{1} {4}e^{-x} \sin x

c_2 = \frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\int_{}^{} {e^{-x} \sin xdx} } \right\}

= \frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\int_{}^{} {e^{\left( {-1+i} \right)x} dx} } \right\}

= \frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\frac{1} {{-1+i}}e^{\left( {-1+i} \right)x} } \right\}

= \frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\frac{{-1-i}} {2}e^{\left( {-1+i} \right)x} } \right\}

= \frac{1} {4}\operatorname{Im} \left\{ {\frac{{-1-i}} {2}e^{-x} \left( {\cos x+i\sin x} \right)} \right\}

= \frac{1} {4}e^{-x} \left( {-\frac{1} {2}\sin x-\frac{1} {2}\cos x} \right)

Wir erhalten die zweite Partikulärlösung:

y_{2p} \left( x \right) = e^{3x} \left( {-\frac{1} {{40}}\cos x-\frac{3} {{40}}\sin x} \right)e^{-3x} +e^{-x} \left( {-\frac{1} {8}\sin x-\frac{3} {{40}}\cos x} \right)e^x

= -\frac{1} {{10}}\cos x-\frac{1} {5}\sin x

Die Gesamtlösung ist:

y\left( x \right) = y_h +y_{1p} +y_{2p}