Aufgabe 7.4 – Eulersches Polygonzugverfahren

 

Bestimmen Sie mit der Eulerschen Polygonzugmethode und der Schrittweite h = 0,1 eine Näherungslösung zum Anfangswertproblem

y^{\prime} \left( x \right) = y \left( x \right)+1,\quad \quad y\left( 0 \right) = 0,\quad \quad h = 0,1 \quad \quad \quad \quad x \in \left[ 0, 0.2 \right]

Lösung

y^{\prime} = y+1,\quad \quad y\left( 0 \right) = 0,\quad \quad h = 0,1

Euler:

y_{i+1} = y_i +h \cdot f\left( {x_i ,y_i } \right),\quad \quad x_{i+1} = x_i +h

y_1 = 0+0,1\left( {0+1} \right) = 0,1

y_2 = 0,1+0,1\left( {0,1+1} \right) = 0,21

\begin{array}{*{20}{c}} i & 0 & 1 & 2 \\ {x_i } & 0 & {0,1} & {0,2} \\ {y_i } & 0 & {0,1} & {0,21} \\ \end{array}

Exakte Werte:

y1 = 0,105
y2 = 0,221

Lösungsfunktion:

y\left( x \right) = e^x -1