Aufgabe 4.5 – Satz von Fubini

 

Berechne mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral

\int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\left( {\frac{x} {y}-\frac{y} {x}} \right)d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}

Lösung

Aus

\int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\left( {\frac{x} {y}-\frac{y} {x}} \right)d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}

folgt wegen der Linearität

= \int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\frac{x} {y}d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)} -\int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\frac{y} {x}d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}

Mit Hilfe des Satzes von Fubini wandeln wir dies in ein Riemann-Integral um:

= \int_1^2 {\int_1^2 {\frac{x} {y}dxdy} } -\int_1^2 {\int_1^2 {\frac{y} {x}dydx} }

Dabei wurde die Integrationsreihenfolge im zweiten Integral vertauscht. Die Berechnung ergibt:

= \int_1^2 {\frac{1} {y}\left[ {\frac{{x^2 }} {2}} \right]_1^2 dy} -\int_1^2 {\frac{1} {x}\left[ {\frac{{y^2 }} {2}} \right]_1^2 dx}  = \frac{3} {2}\ln 2-\frac{3} {2}\ln 2 = 0