Aufgabe 4.5 – Satz von Fubini

Berechne mit Hilfe des Satzes von Fubini das Integral

<br /> \int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\left( {\frac{x}<br /> {y}-\frac{y}<br /> {x}} \right)d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}<br />

Lösung

Aus

<br /> \int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\left( {\frac{x}<br /> {y}-\frac{y}<br /> {x}} \right)d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}<br />

folgt wegen der Linearität

<br /> = \int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\frac{x}<br /> {y}d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)} -\int_{\mathbb{R}^2 }^{} {I_{\left[ {1,2} \right[ \times \left[ {1,2} \right[} \left( {x,y} \right)\frac{y}<br /> {x}d\lambda ^2 \left( {x,y} \right)}<br />

Mit Hilfe des Satzes von Fubini wandeln wir dies in ein Riemann-Integral um:

<br /> = \int_1^2 {\int_1^2 {\frac{x}<br /> {y}dxdy} } -\int_1^2 {\int_1^2 {\frac{y}<br /> {x}dydx} }<br />

Dabei wurde die Integrationsreihenfolge im zweiten Integral vertauscht. Die Berechnung ergibt:

<br /> = \int_1^2 {\frac{1}<br /> {y}\left[ {\frac{{x^2 }}<br /> {2}} \right]_1^2 dy} -\int_1^2 {\frac{1}<br /> {x}\left[ {\frac{{y^2 }}<br /> {2}} \right]_1^2 dx} = \frac{3}<br /> {2}\ln 2-\frac{3}<br /> {2}\ln 2 = 0<br />

Ähnliche Artikel

Kommentar verfassen