Aufgabensammlung zur Klausur Analysis 1

Aufgabe A

Sei (a_n)_n eine Folge reeller Zahlen und a reell. Wann genau heißt nach Definition (a_n)_n konvergent gegen a?
Geben Sie einen angeordneten Körper an, in dem jede Cauchyfolge konvergiert.

Aufgabe B

Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n die Zahl (2n+1)²-1 durch 8 teilbar ist.

Aufgabe C

Geben Sie Infimum und Supremum der Menge

$ M: = \left\{ {\frac{{1-2^n }} {{\left( {-2} \right)^n }}\quad :\quad n \in \mathbb{N}} \right\} $

an. Liegen Supremum bzw Infimum in M? (Eine Begründung ist jeweils nicht erforderlich.)

Aufgabe D

Bestimmen Sie einen einfachen Ausdruck für den Grenzwert der Reihe

$ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( {-3} \right)^{n+1} }} {{\left( {n-1} \right)!}}} $

Aufgabe E

Untersuchen Sie, ob der Grenzwert jeweils existiert, und berechnen Sie ihn gegebenenfalls.

$ \lim \limits_{n \to \infty } \exp \left( {\sin \left( {\frac{{\left( {\pi \cdot n+1} \right)^2 }} {{2\pi \cdot n^2 }}} \right)} \right) $
$ \lim \limits_{x \to 0,x \ne 0} \frac{{x \cdot e^x }} {{\sin \left( {3x} \right)-\sin \left( x \right)}} $

Aufgabe F

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen:

$ \sum\limits_n^{} {\left( {-1} \right)^n \frac{{2n^2 +1}} {{\left( {n+1} \right)^2 }}} $
$ \sum\limits_n^{} {\frac{{n^2 }} {{3^n }}} $

Aufgabe G

Gegeben sei die Funktion

$ f:\quad \left] {0,\infty } \right[\: \to \:\mathbb{R},\quad x \mapsto -3x \cdot \ln \left( x \right)+3x+x \cdot \ln ^2 \left( x \right) $

Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung von f.
Bestimmen Sie alle lokalen Minima und Maxima von f.

Aufgabe H

Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl (1-i)²⁰⁰⁸.
Hinweis: Berechnen Sie zuerst Real- und Imaginärteil der Zahlen (1-i)², (1-i)⁴ und (1-i)⁸.

Lösung

Aufgabe A

a) Die Folge ist konvergent, wenn die Bedingung erfüllt ist:
Für jede reelle Zahl ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl n₀, so dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ n₀ gilt: |a-a_n| < ε.

b) Ein Körper, in dem jede Cauchyfolge konvergiert, ist der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der komplexen Zahlen. Angeordnet ist allerdings nur der Körper der reellen Zahlen.

Aufgabe B

Induktionsanfang:

$ n:0 \to \left( {2n+1} \right)^2 -1 = 0 $

$ n:1 \to \left( {2n+1} \right)^2 -1 = \left( {2+1} \right)^2 -1 = 8 $

Induktionsschritt:

$ n:n+1 \to \left( {2\left( {n+1} \right)+1} \right)^2 -1 = \left( {2n+3} \right)^2 -1 = 4n^2 +12n+8 $

Hier kann nun die Induktionsannahme eingesetzt werden:

$ 4n^2 +12n+8 = 4n^2 +4n+8n+8 = \left( {2+1} \right)^2 -1+8n+8 = \left( {2+1} \right)^2 -1+8\left( {n+1} \right) $

Dabei ist (2n+1)²-1 nach Induktionsannahme durch 8 teilbar und 8(n+1) ist offensichtlich auch durch 8 teilbar.

Aufgabe C

Wertetabelle:

$ \begin{array}{*{20}{c}} n = 0 & \to \frac{{1-2^0 }} {{\left( {-2} \right)^0 }} = 0 \\ n = 1 & \to \frac{{1-2^1 }} {{\left( {-2} \right)^1 }} = \frac{1} {2} \\ n = 2 & \to \frac{{1-2^2 }} {{\left( {-2} \right)^2 }} = -\frac{3} {4} \\ n = 3 & \to \frac{{1-2^3 }} {{\left( {-2} \right)^3 }} = \frac{7} {8} \\ n = 4 & \to \frac{{1-2^4 }} {{\left( {-2} \right)^4 }} = -\frac{{15}} {{16}} \\ \end{array} $

Die Werte streben gegen -1 und 1.
Infimum: -1
Supremum: 1

Beide Werte werden nur im Unendlichen erreicht, liegen also nicht in M.

Aufgabe D

Grenzen verändern und zu Exponentialfunktion umformen:

$ \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( {-3} \right)^{n+1} }} {{\left( {n-1} \right)!}}} = 9 \cdot \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{{\left( {-3} \right)^{n-1} }} {{\left( {n-1} \right)!}}} = 9 \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {-3} \right)^n }} {{\left( n \right)!}}} = 9 \cdot \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{{\left( {-3} \right)^n }} {{\left( n \right)!}}} \right)} -\frac{{\left( {-3} \right)^0 }} {{\left( 0 \right)!}}} \right) $

$ = 9 \cdot \left( {e^{-3} -1} \right) $

Aufgabe E

von a)

$ \lim \limits_{n \to \infty } \exp \left( {\sin \left( {\frac{{\left( {\pi \cdot n+1} \right)^2 }} {{2\pi \cdot n^2 }}} \right)} \right) $

betrachten wir zunächst die innere Klammer:

$ \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\left( {\pi \cdot n+1} \right)^2 }} {{2\pi \cdot n^2 }} = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\pi ^2 n^2 +2\pi \cdot n+1}} {{2\pi \cdot n^2 }} = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{n^2 }} {{n^2 }} \cdot \frac{{\pi ^2 +\frac{{2\pi }} {n}+\frac{1} {{n^2 }}}} {{2\pi }} = \frac{{\pi ^2 }} {{2\pi }} = \frac{\pi } {2} $

eingesetzt:

$ \lim \limits_{n \to \infty } \exp \left( {\sin \left( {\frac{{\left( {\pi \cdot n+1} \right)^2 }} {{2\pi \cdot n^2 }}} \right)} \right) = \exp \left( {\sin \left( {\frac{\pi } {2}} \right)} \right) = \exp \left( 1 \right) = e $

b) wird mit der Regel von de l’Hospital gelöst:

$ \lim \limits_{x \to 0,x \ne 0} \frac{{x \cdot e^x }} {{\sin \left( {3x} \right)-\sin \left( x \right)}} = \lim \limits_{x \to 0,x \ne 0} \frac{{\operatorname{e} ^x \cdot \left( {x+1} \right)}} {{3 \cdot \cos \left( {3x} \right)-\cos \left( x \right)}} = \frac{1} {2} $

Aufgabe F

a)
Wir betrachten die Folge:

$ \frac{{2n^2 +1}} {{\left( {n+1} \right)^2 }} = \frac{{2n^2 +1}} {{n^2 +2n+1}} = \frac{{n^2 }} {{n^2 }} \cdot \frac{{2+\frac{1} {{n^2 }}}} {{1+\frac{2} {n}+\frac{1} {{n^2 }}}} $

$ \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{2+\frac{1} {{n^2 }}}} {{1+\frac{2} {n}+\frac{1} {{n^2 }}}} = 2 $

Keine (alternierende) Nullfolge, daher Reihe nicht konvergeht.

b)
Wir nutzen das Quotientenkriterium und erhalten:

$ \frac{{\frac{{\left( {n+1} \right)^2 }} {{3^{n+1} }}}} {{\frac{{n^2 }} {{3^n }}}} = \frac{{\left( {n+1} \right)^2 }} {{3^{n+1} }} \cdot \frac{{3^n }} {{n^2 }} = \frac{{\left( {n+1} \right)^2 }} {{3 \cdot n^2 }} $

Dieser Wert ist immer kleiner als 3/4 für alle n > 2. Die Reihe ist daher konvergent.

Aufgabe G

$ f\left( x \right) = -3x \cdot \ln \left( x \right)+3x+x \cdot \ln ^2 \left( x \right) $

$ f ^{\prime}\left( x \right) = -3 \cdot \ln \left( x \right)+-3x \cdot \frac{1} {x}+3+1 \cdot \ln ^2 \left( x \right)+x \cdot 2 \cdot \ln \left( x \right) \cdot \frac{1} {x} $

$ f ^{\prime}\left( x \right) = -3 \cdot \ln \left( x \right)+\ln ^2 \left( x \right)+2 \cdot \ln \left( x \right) = -\ln \left( x \right)+\ln ^2 \left( x \right) $

$ f^{\prime\prime}\left( x \right) = -\frac{1} {x}+2 \cdot \ln \left( x \right) \cdot \frac{1} {x} = \frac{1} {x} \cdot \left( {2 \cdot \ln \left( x \right)-1} \right) $

Notwendige Bedingung: Erste Ableitung = 0:

$ f ^{\prime}\left( x \right) = 0 \Rightarrow -\ln \left( x \right)+\ln ^2 \left( x \right) = 0 \Rightarrow \ln \left( x \right) = \ln ^2 \left( x \right) $