v1.1 – Aufgabenstellung der Numerik für DGL

 

Anfangswertaufgaben für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

1.1.1 Beispiel zur Motivation: Molekül

Wir betrachten ein Molekül mit N Atomen. Gesucht ist die Position dieser Atome:

{x_i}\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{i,1}}\left( t \right)} \\{{x_{i,2}}\left( t \right)} \\{{x_{i,3}}\left( t \right)} \\   \end{array} } \right)\:\:,\quad i = 1, \ldots ,N

Dabei steht der Index i für die Nummer des Atoms. Die drei Einträge des Vektors entsprechen den drei Dimensionen des Raums. Wir fassen nun alle Vektoren {x_i} in einem großen Vektor x zusammen:

x\left( t \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}\left( t \right)} \\  \vdots \\{{x_N}\left( t \right)} \\   \end{array} } \right)\quad \quad \in {\mathbb{R}^{3N}}

Eine einfache mathematische Modellierung besteht im Aufstellen des Kräftegleichgewichts:

M\ddot x+C\dot x+\nabla V\left( x \right) = E\left( t \right)\quad \quad \quad \left( 1 \right)

Dabei ist M eine Massenmatrix (Diagonalmatrix), C eine Dämpfungsmatrix, V\left( {x\left( t \right)} \right) eine nichtlineare Potentialfunktion und E\left( t \right) ein zufallsbeeinflusster Fluktuationsterm, der den Energieaustausch durch Kollision beschreibt.

1.1.2 Komponenten des Potentials

Das Potential enthält dabei Komponenten, die die Coulomb-Interaktion beschreiben:

\sum\limits_i {\sum\limits_{j \ne i} {\frac{{{Q_i}{Q_j}}}{{D\left| {{x_i}-{x_j}} \right|}}} }

Dabei sind {Q_i} Ladungen und D die Dielektrizitätskonstante. Die Funktion V\left( x \right) ist skalar und nichtlinear. Zu deren Auswertung sind O\left( {{N^2}} \right) viele Operationen nötig, was für große Atomzahlen N schon lange dauern kann.

1.1.3 Überführung in System 1. Ordnung doppelter Dimension

Das System \left( 1 \right) gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung kann in ein System 1. Ordnung doppelter Dimension überführt werden:

\dot x\left( t \right) = v\left( t \right)

M\dot v = E-\nabla V\left( x \right)-Cv

1.1.4 Abstraktion

Wir wollen Anfangswertaufgaben für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen lösen:

\dot y\left( t \right) = f\left( {t,y\left( t \right)} \right)\quad \quad y \in {\mathbb{R}^n},\:\:t > {t_0}

y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}

Die Funktion f ist im Allgemeinen nichtlinear. Solche Gleichungen sind im Allgemeinen nicht analytisch lösbar.

1.1.5 Illustration

Die Differentialgleichung definiert ein Richtungsfeld. In jedem Punkt \left( {t,y} \right) wird ein Pfeil gezeichnet, der in die Richtung \dot y = f\left( {t,y\left( t \right)} \right) zeigt. Der Graph der Lösung der AWA lässt sich aus dem Richtungsfeld konstruieren:

num-101-differentialgleichung-richtungsfeld-vektor

Die Lösungskurve enthält den Punkt \left( {{t_0},{y_0}} \right) und muss immer dem Richtungsfeld folgen. Die Pfeile sind also Tangenten der Lösungskurve.

1.1.6 Existenz, Eindeutigkeit, stetige Abhängigkeit vom Anfangswert

Sei \left[ {{t_0},T} \right] ein endliches Intervall und sei f auf dem Streifen G = \left\{ {\left( {t,y} \right) \in {\mathbb{R}^{n+1}}:t \in \left[ {{t_0},T} \right],y \in {\mathbb{R}^n}} \right\} stetig. Es gebe eine Konstante L, so dass die Lipschitzbedingung in der Variablen y erfüllt ist:

\left\| {f\left( {t,{y^{\left( 1 \right)}}} \right)-f\left( {t,{y^{\left( 2 \right)}}} \right)} \right\| \leq L\left\| {{y^{\left( 1 \right)}}-{y^{\left( 2 \right)}}} \right\|\quad \forall t \in \left[ {{t_0},T} \right]\quad \forall {y^{\left( 1 \right)}},{y^{\left( 2 \right)}} \in {\mathbb{R}^n}

Dann existiert für alle {y_0} \in {\mathbb{R}^n} genau eine Funktion y\left( t \right), die im Intervall \left[ {{t_0},T} \right] definiert und stetig differenzierbar ist, sowie die Anfangswertaufgabe erfüllt:

\dot y = f\left( {t,y} \right)\quad \forall t \in \left[ {{t_0},T} \right],\quad y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}

Für die Lösungen {y^{\left( 1 \right)}},{y^{\left( 2 \right)}} der Anfangswertaufgaben

{\dot y^{\left( i \right)}} = f\left( {t,{y^{\left( i \right)}}} \right),\quad {y^{\left( i \right)}}\left( {{t_0}} \right) = y_0^{\left( i \right)},\quad i = 1,2

gilt für alle t \in \left[ {{t_0},T} \right] die Abschätzung

\left\| {{y^{\left( 1 \right)}}\left( t \right)-{y^{\left( 2 \right)}}\left( t \right)} \right\| \leq {e^{L\left( {t-{t_0}} \right)}}\left\| {y_0^{\left( 1 \right)}-y_0^{\left( 2 \right)}} \right\|

Dabei ist \left\| {\: \cdot \:} \right\| irgendeine Norm im {\mathbb{R}^n}.

1.1.7 Allgemeine Vorgehensweise bei der numerischen Lösung

Man bestimmt Näherungen {u_k} \approx y\left( {{t_k}} \right),\quad k = 0,1,2, \ldots, wobei {\omega _\tau } = \left\{ {{t_0},{t_1},{t_2}, \ldots } \right\} ein Gitter (Menge von Stützstellen) und {\tau _k} = {t_{k+1}}-{t_k} die lokale Schrittweite ist. Dabei erhält man die numerische Lösung in Form einer Gitterfunktion {u_\tau }:{\omega _\tau } \to {\mathbb{R}^n}, wobei {u_\tau }\left( {{t_k}} \right) = {u_k}.