04 – Aufheizen von Kerosin

 

Mit einem nach außen isolierten Wärmeübertrager sollen 0,3\frac{{kg}}{s} Kerosin von 30^\circ C auf 60^\circ C erwärmt werden. Das Kerosin soll dazu in einem dünnwandigen Kupferrohr mit 20mm Durchmesser fließen (Wärmewiderstand vernachlässigbar). Der Wärmeübergangskoeffizient auf der Innenseite soll {h_i} = 750\frac{W}{{{m^2}K}} betragen. Im äußeren konzentrischen Rohr fließt Wasser mit einem Massenstrom von {\dot m_W} = 0,15\frac{{kg}}{s}. Der Wärmeübergangskoeffizient auf der Außenseite der Trennwand hat den Wert {h_a} = 1500\frac{W}{{{m^2}K}}, die Wassereintrittstemperatur beträgt 95^\circ C .

Berechnen Sie für Gleich- und Gegenstrombetrieb die notwendige Länge L des Übertragers. Die Stoffwerte sind angegeben.

Kerosin: {c_K} = 1,98\frac{{kJ}}{{kgK}}
Wasser: {c_W} = 4,18\frac{{kJ}}{{kgK}}

Lösung

Skizze des Problems:

kerosin-kupferrohr-warmeubertragung-wasser

Da diese Geometrie nicht so leicht zu berechnen ist, betrachten wir stattdessen eine Prinzipskizze:

warmeubertrager-kerosin-wasser-skizze

Um eine Länge zu bestimmen, verwenden wir immer die Formel für den Wärmestrom in Abhängigkeit von der logarithmischen Temperaturdifferenz und dem gesamten Wärmewiderstand:

\dot Q = \frac{{\Delta {T_{\log }}}}{{{R_{ges}}}}\quad \Rightarrow \quad \dot Q = \Delta {T_{\log }}\frac{L}{{{R_L}}}\quad \Rightarrow \quad L = \frac{{\dot Q{R_L}}}{{\Delta {T_{\log }}}}

Das tun wir, weil der Wärmewiderstand eine Funktion der Wärme übertragenden Oberfläche A und der Länge L des Wärmeübertragers ist. Wir können daher anschließend nach der Länge umstellen.

Wir berechnen zunächst den Wärmestrom. Dazu stellen wir den ersten Hauptsatz für das folgende Teilsystem auf, da wir Ein- und Austrittstemperatur vom Kerosin sowie den Massenstrom kennen:

warmeubertrager-system1-kerosin-wasser

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot m{h_{tot}}}

Wegen stationärem Betrieb ist

\frac{{dE}}{{dt}} = 0

Da es keine technische Vorrichtung gibt, ist auch die Arbeit 0:

\sum {\dot W} = 0

Es gibt einen Wärmestrom, der in das System eintritt:

\sum {\dot Q} = \dot Q

Ein Massenstrom (Wasserdampf) tritt in das System ein. Der gleiche Massenstrom tritt aus dem System aus, jedoch mit einer anderen Temperatur.

Alles einsetzen:

\frac{{dE}}{{dt}} = \sum {\dot Q} +\sum {\dot W} +\sum {\dot m{h_{tot}}} \quad \Rightarrow \quad 0 = \dot Q+{\dot m_K}{c_K}\left( {{T_K}-T_K^\prime } \right)

Der Wärmestrom, der das System verlässt, ist also:

\dot Q = {\dot m_K}{c_K}\left( {T_K^\prime -{T_K}} \right) = 0,3\frac{{kg}}{s} \cdot 1980\frac{J}{{kgK}}\left( {333,15K-303,15K} \right) = 17,82kW

Wir betrachten nun das Gesamtsystem, um die Austrittstemperatur des Wassers zu berechnen:

warmeubertrager-system2-kerosin-wasser

\underbrace {\frac{{dE}}{{d\tau }}}_{ = 0} = \sum {\dot Q} +\underbrace {\sum {\dot W} }_{ = 0}+\sum {\dot m{h_{tot}}}

0 = {{\dot m}_K}{c_K}\left( {{T_K}-T_K^\prime } \right)+{{\dot m}_W}{c_W}\left( {{T_W}-T_W^\prime } \right)

T_W^\prime = {T_W}-\frac{{{{\dot m}_K}{c_K}}}{{{{\dot m}_W}{c_W}}}\left( {T_K^\prime -{T_K}} \right) = 95^\circ C-\frac{{0,3\frac{{kg}}{s} \cdot 1980\frac{J}{{kgK}}}}{{0,15\frac{{kg}}{s} \cdot 4180\frac{J}{{kgK}}}}\left( {60^\circ C-30^\circ C} \right)

= 66,58^\circ C

Als nächstes wird der Wärmewiderstand berechnet, über den die Wärme übertragen wird:

{R_{ges}} = f\left( A \right) = f\left( L \right)

{R_{ges}} = \frac{1}{{{h_i}A}}+\frac{{\ln \left( {\frac{{{d_a}}}{{{d_i}}}} \right)}}{{2\pi Lk}}+\frac{1}{{{h_a}A}}

Dabei wird der mittlere Term laut Aufgabenstellung vernachlässigt. Wir erhalten:

{R_{ges}} = \frac{1}{{{h_i}{d_i}\pi L}}+\frac{1}{{{h_a}{d_a}\pi L}}

Wir vernachlässigen nun die Wanddicke des Rohrs:

{R_{ges}} = \frac{1}{{{h_i}{d_i}\pi L}}+\frac{1}{{{h_a}{d_a}\pi L}} \approx \frac{1}{{d\pi L}}\left( {\frac{1}{{{h_i}}}+\frac{1}{{{h_a}}}} \right)

{R_L} = {R_{ges}}L = \frac{1}{{d\pi }}\left( {\frac{1}{{{h_i}}}+\frac{1}{{{h_a}}}} \right) = \frac{1}{{\pi \cdot 0,02m}}\left( {\frac{1}{{750\frac{W}{{{m^2}K}}}}+\frac{1}{{1500\frac{W}{{{m^2}K}}}}} \right)

= 3,183 \cdot {10^{-2}}\frac{{mK}}{W}

Mit Hilfe der logarithmischen Temperaturdifferenz kann an nun die erforderliche Länge des Wärmeübertragers berechnen. Bis zu diesem Punkt unterscheidet sich der Rechenweg für Gleich- und Gegenstrombetrieb nicht, die logarithmische Temperaturdifferenz unterscheidet sich jedoch.

Logarithmische Temperaturdifferenz:

\Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}}

Für Gleichstrom:

\Delta {T_0} = {T_W}-{T_K} = 95^\circ C-30^\circ C = 65K

\Delta {T_L} = T_W^\prime -T_K^\prime = 66,58^\circ C-60^\circ C = 6,58K

\quad \Rightarrow \quad \Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 25,51K

Wir erhalten damit die notwendige Länge des Gleichstrom-Wärmeübertragers:

{L_{GLS}} = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}{R_L}}}{{\Delta {T_{\log ,GLS}}}} = \frac{{17,82kW \cdot 3,183 \cdot {{10}^{-2}}\frac{{mK}}{W}}}{{25,51K}} = 22,23m

Für Gegenstrom:

\Delta {T_0} = {T_W}-T_K^\prime = 95^\circ C-60^\circ C = 35K

\Delta {T_L} = T_W^\prime -{T_K} = 66,58^\circ C-30^\circ C = 36,58K

\quad \Rightarrow \quad \Delta {T_{\log }} = \frac{{\Delta {T_L}-\Delta {T_0}}}{{\ln \left( {\frac{{\Delta {T_L}}}{{\Delta {T_0}}}} \right)}} = 35,78K

Wir erhalten damit die notwendige Länge des Gegenstrom-Wärmeübertragers:

{L_{GGS}} = \frac{{{{\dot Q}_{ges}}{R_L}}}{{\Delta {T_{\log ,GGS}}}} = \frac{{17,82kW \cdot 3,183 \cdot {{10}^{-2}}\frac{{mK}}{W}}}{{35,78K}} = 15,85m

Der Gegenstromwärmeübertrager arbeitet also deutlich effektiver, wie die kürzere Baulänge zeigt.

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