2.3 – Auftriebsbeiwert und Fluggeschwindigkeit im stationären Gleitflug

 
  1. Stellen Sie die Gleichungen des stationären Gleitflugs in Flugbahnrichtung und senkrecht zur Flugbahnrichtung auf (Skizze der angreifenden Kräfte)
  2. Zeigen Sie anhand dieser Gleichungen, bei welcher Gleitzahl der Gleitwinkel minimal wird.
  3. Mit welchem Auftriebsbeiwert muss der Pilot fliegen? Wie hängt dieser Wert von der Flughöhe ab?
  4. Begründen Sie, ob der Pilot mit einem größeren oder kleineren Auftriebsbeiwert gegenüber dem Fall des minimalen Gleitwinkels fliegen muss, um mit minimaler Sinkgeschwindigkeit zu fliegen.
  5. Stellen Sie die Sinkgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Fluggeschwindigkeit in einem Diagramm dar und kennzeichnen Sie die beiden fälle „minimale Sinkgeschwindigkeit“ und „minimaler Gleitwinkel“

Lösung 2.3

a)

kraftegleichgewicht-gleitflug-sinken

Kräftegleichgewicht:

{x_a}-Richtung: -W+mg \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = 0

{z_a}-Richtung: -A+mg \cdot \cos \left( {-\gamma } \right) = 0

Energiebilanz mit \sin \left( {-\gamma } \right) = \frac{{\Delta H}} {{\Delta s}}:

mg \cdot \Delta H = W \cdot \Delta s\qquad \overset{\wedge}{=}\qquad \Delta {E_{pot}} = \Delta {E_{Reibung}}

b)

Die Gleitzahl \varepsilon sagt aus wie weit ein Flugzeug auf einer bestimmten Strecke absinkt, also

\varepsilon = \frac{{\Delta {x_g}}} {{\Delta {z_g}}} = \underbrace {\tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{W} {A} = \frac{{{C_W}\cdot m\cdot g\cdot {V^2}\cdot \frac{\rho } {2}}} {{{C_A}\cdot m\cdot g\cdot {V^2}\cdot \frac{\rho } {2}}} = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}}_{Anhand{\text{ }}der{\text{ }}Gleichungen\;aus{\text{ }}a)}

= \frac{{{C_{{W_0}}}+k\cdot C_A^2}} {{{C_A}}} = \frac{{{C_{{W_0}}}}} {{{C_A}}}+k\cdot {C_A}.

Der Gleitwinkel \gamma sagt aus um wie viel Grad das aerodynamische zum geodätischen Koordinatensystem verdreht ist, also wie schnell das Flugzeug, welches in die Richtung der positiven x-Achse des aerodynamischen Koordinatensystems fliegt, sinkt.
Anschaulich bedeutet dies: Für \varepsilon \to {\varepsilon _{min}} wird \gamma am kleinsten (Betrag!)

D.h. wenn{\varepsilon _{min}}dann auch{\gamma _{min}}. Man stellt daher folgende Funktion auf:

\varepsilon \left( {{C_A}} \right) = \frac{{{C_{{W_0}}}}} {{{C_A}}}+k \cdot {C_A}

Daraus folgt:

\varepsilon '\left( {{C_A}} \right) = -\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{C_A^2}}+k\mathop = \limits^! 0

Und damit gilt für C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}

Wieder eingesetzt in \varepsilon \left( {{C_A}} \right) ergibt sich:

{\varepsilon _{min}} = \varepsilon \left( {C_A^*} \right) = \frac{{{C_{{W_0}}}\cdot \sqrt k }} {{\sqrt {{C_{{W_0}}}} }}+\frac{{k\cdot \sqrt {{C_{{W_0}}}} }} {{\sqrt k }} = \frac{{{C_{{W_0}}}\cdot \sqrt k \cdot \sqrt k +k\cdot \sqrt {{C_{{W_0}}}} \cdot \sqrt {{C_{{W_0}}}} }} {{\sqrt {{C_{{W_0}}}\cdot k} }}

= \frac{{2\cdot {C_{{W_0}}}\cdot k}} {{\sqrt {{C_{{W_0}}}\cdot k} }} = 2\cdot \sqrt {{C_{{W_0}}}\cdot k}

Fliegt der Pilot mit dieser Gleitzahl, die nun nur noch von{C_{{W_0}}}und k, zwei Fluggerätspezifischen Größen abhängt, ist der Gleitwinkel minimal.

c)

Der beste Auftriebswert wird bei einem Flug mit minimaler Gleitzahl {\varepsilon _{min}} erreicht. Diese wird im Polarendiagramm durch die Tangente an die Polare bestimmt.

gleitzahl-epsilon-minimalwert-steigung

Die zugehörigen optimalen Beiwerte C_A^* und C_W^* ergeben sich wie folgt.

Es gilt: \varepsilon = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}

Mit dem Ansatz für die Flugzeugpolare

{C_W} = {C_{{W_0}}}+k \cdot C_A^2 folgt \varepsilon = \frac{{{C_{{W_0}}}}} {{{C_A}}}+k \cdot {C_A}

Nach Differentiation folgt:

0 = \frac{{\partial \varepsilon }} {{\partial {C_A}}} = -\frac{{{C_{{W_0}}}}} {{C_A^2}}+k und damit: C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}

Damit wird der beste Widerstandsbeiwert beschrieben durch:

C_W^* = {C_{{W_0}}}+k{\left( {C_A^*} \right)^2} = {C_{{W_0}}}+k{\left( {\sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} } \right)^2} = 2 \cdot {C_{{W_0}}}

Ferner folgt für die minimale Gleitzahl: {\varepsilon _{min}} = 2\sqrt {{C_{{W_0}}}k} (siehe Aufgabenteil b).

Für den optimalen Auftriebsbeiwert gilt: C_A^* = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}}. Dieser Wert ist, wie man leicht erkennen kann, keine Funktion von der Flughöhe H! Damit istC_A^*unabhängig von der Flughöhe H.

C_A^* \ne f\left( H \right)

d)

gleitflug-koordinatensysteme

Aus obiger Skizze ist sofort erkennbar:

w = V \cdot \sin \left( {-\gamma } \right) = -V \cdot \sin \left( \gamma \right)

Weiter ist aus der Trigonometrie bekannt:

\sin \left( \gamma \right) = \frac{{\tan \left( \gamma \right)}} {{\sqrt {1+{{\tan }^2}\left( \gamma \right)} }}

Fasst man diese Formeln zusammen erhält man mit \tan \left( {-\gamma } \right) = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}}:

w = V \cdot \frac{{\tan \left( {-\gamma } \right)}} {{\sqrt {1+{{\tan }^2}\left( {-\gamma } \right)} }} = V \cdot \frac{{{C_W}}} {{{C_A}\sqrt {1+\frac{{C_W^2}} {{C_A^2}}} }} = V \cdot \frac{{{C_W}}} {{\sqrt {C_A^2+C_W^2} }}

Die Formel für die Geschwindigkeit lautet wie in 2.2.b gezeigt:

V = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S\sqrt {C_A^2+C_W^2} }}}

Alles zusammen ergibt:

w = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S}}} \cdot \frac{{{C_W}}} {{{{\left( {C_A^2+C_W^2} \right)}^{3/4}}}}

Mit \varepsilon = \frac{{{C_W}}} {{{C_A}}} und {\varepsilon ^2} \ll 1 ergibt sich die Sinkgeschwindigkeit zu

w = \sqrt {\frac{{2mg}} {{\rho S}}} \cdot \frac{{{C_W}}} {{C_A^{3/2}}}

Für eine Minimumssuche wird dies wieder nach {C_A} differenziert und mit 0 gleichgesetzt.

Durch Umformen erhält man

{\left( {{C_A}} \right)_{{w_{min}}}} = \sqrt {\frac{{{C_{{W_0}}}}} {k}} \cdot \sqrt 3 = C_A^* \cdot \sqrt 3

D.h. der Pilot muss mit einem größeren Auftriebsbeiwert fliegen um die minimale Sinkgeschwindigkeit zu erreichen.

e)

sinkgeschwindigkeit-fluggeschwindigkeit-diagramm

Die Achsen wurden durch die Konstanten {\varepsilon _{min}} und {V^*} genormt.

An der grün markierten Stelle ist der Punkt mit der minimalen Sinkgeschwindigkeit.
Die rote Stelle markiert die Konfiguration mit dem geringsten Gleitwinkel.