09 – Auslegung einer komplexen Bolzenverbindung

 

Die mit einem Gelenklager (2) ausgestattete Schubstange (1) einer Steinsäge belastet den
Lagerbolzen (3) durch eine mit starken Stößen wechselnd auftretende Stangenkraft F =  \mp 38kN. Für den mit einem Querschmierloch versehenen Bolzen aus dem Vergütungsstahl C45E ist die Sicherheit gegen Dauerbruch nachzuweisen. Ferner ist die Flächenpressung an den Laschen (Werkstoff: E295) zu überprüfen.

bolzen-verbindung-schubstange-schmierloch

Lösung

Wir haben es in dieser Aufgabe mit einer wechselnden Belastung zu tun. Das Schmierloch im Bolzen darf nicht vernachlässigt werden.

Skizze mit den auf den Bolzen wirkenden Kräften:

skizze-bolzen-kraft

Wir bestimmen zunächst das Biegewiderstandsmoment des Bolzens. Dazu bestimmen wir zum einen das vereinfachte Biegewiderstandsmoment ohne Beachtung der Schmierbohrung und dann das exakte Moment.

Es gilt:

{W_b} = \frac{{\pi {D^3}}}{{32}} = \frac{{\pi {{\left( {70mm} \right)}^3}}}{{32}} = 33674m{m^3}

{W_{b,exakt}} = \frac{{\pi \left( {{D^3}-{d^3}} \right)}}{{32}} = \frac{{\pi \left[ {{{\left( {70mm} \right)}^3}-{{\left( {6mm} \right)}^3}} \right]}}{{32}} = 33652m{m^3}

Dabei ist d der Durchmesser der Schmierbohrung und D der Durchmesser des Bolzens.

Der Einfluss der Schmierbohrung im Bolzen fällt hier also kaum ins Gewicht.
Zur Bestimmung der maximal vorhandenen Biegespannung vereinfachen wir zunächst die angreifenden Kräfte:

maximales-biegemoment-bestimmung

Zuerst wird die trapezförmige Kraft an den Seiten zu einer dreieckförmigen. Dann werden die Flächenlasten durch Einzelkräfte ersetzt, die jeweils im Schwerpunkt der Flächen angreifen. Bei der Dreieckslast ist dieser Punkt bei 2/3 der Grundseite. Die quadratische Flächenlast wird in zwei Hälften aufgeteilt, die jeweils wieder in der Hälfte ihres Bereiches durch eine Einzellast ersetzt werden. Der resultierende Momentenverlauf ist gelb eingezeichnet. Zwischen den beiden Einzellasten in der Mitte ist das Biegemoment maximal. Wir rechnen das Moment genau an der Stelle einer dieser Kräfte aus. Dabei müssen wir nur die Entfernung einer äußeren Kraft mit der Entfernung zwischen den Kraftangriffspunkten multiplizieren.
Die Flächenlast in der Mitte war 49mm breit, der betrachtete Punkt liegt also 49/4=12,25mm von der Mitte entfernt. Bis zum Anfang der äußeren Flächenlast sind es von dort aus 50-12,5=37,75mm. Bis zum Angriffspunkt der äußeren Einzellast fehlen dann noch 30/3=10mm. Also:

{M_{B,\max }} = \left( {37,75mm+10mm} \right) \cdot  \frac{F}{2} = 47,75mm \cdot  \frac{{38 \cdot  {{10}^3}N}}{2} = 907250Nmm

Dies setzen wir in die Gleichung für die maximale Biegespannung ein:

{\sigma _{b,\max }} = \frac{{{M_{b,\max }}}}{{{W_b}}} = \frac{{907 \cdot  {{10}^3}Nmm}}{{33674m{m^3}}} = 27\frac{N}{{m{m^2}}}

Nun bestimmen wir die Gestaltfestigkeit mit der Gleichung

{\sigma _G} = \frac{{{C_{d,m}} \cdot  {C_{O,\sigma }} \cdot  k}}{{{\beta _{kb}} \cdot  {C_B}}}

Im Gegensatz zur letzten Aufgabe ist hier auch der Faktor {C_B} relevant, da es sich um eine extrem stoßförmige Belastung handelt. Dieser Betriebsfaktor kann der folgenden Tabelle entnommen werden:

betriebsfaktor

Die Belastung ist extrem stoßartig, daher ist {C_B} = 2,0 \ldots 3,0. Wir entscheiden uns für den Mittelwert und setzen {C_B} = 2,5.

Den technologischen Größenfaktor entnehmen wir der folgenden Tabelle:

technologischer-grosenfaktor

Mit einem Durchmesser von d = 70mm erhalten wir für den Vergütungsstahl C45E den Wert {C_{d,m}} = 0,84.

Den Oberflächeneinflussfaktor entnehmen wir der folgenden Tabelle:

oberflacheneinflussfaktor-tabelle

Um einen Wert für {C_{O,\sigma }} zu erhalten, brauchen wir die maximale Rautiefe{R_z} und die Mindestzugfestigkeit {R_m}.

Die Mindestzugfestigkeit berechnen wir mit der Formel

{R_m} = {R_{m,N}} \cdot  {C_{d,m}} = 700\frac{N}{{m{m^2}}} \cdot  0,84 = 588\frac{N}{{m{m^2}}}

Die maximale Rautiefe ist in der Skizze der Aufgabenstellung gegeben: {R_z} = 3,2\mu m. Es ergibt sich ein Wert von {C_{O,\sigma }} = 0,95.

Für die Kerbformzahl {\beta _{kb}} betrachten wir folgende Tabelle:

kerbform-kerbformzahl-tabelle

Wir haben es hier mit einer Querbohrung zu tun, also müssen wir noch prüfen, ob die Bedingung erfüllt ist:

\frac{{2r}}{d} = \frac{{2 \cdot  6mm}}{{70mm}} = 0,17

Dieser Wert liegt im Intervall \left[ {0,15 \ldots 0,25} \right], daher kann die angegebene Kerbformzahl verwendet werden. Auch die Mindestzugfestigkeit liegt im geforderten Intervall \left[ {400\frac{N}{{m{m^2}}} \ldots 1200\frac{N}{{m{m^2}}}} \right]. Damit erhalten wir einen Wert von {\beta _{kb}} = 1,7, da 0,17 nur knapp über 0,15 liegt.

Als letztes brauchen wir noch den Werkstoffkennwert k. Wir betrachten die Tabelle:

Werkstoffkennwert

Es handelt sich hier um eine wechselnde Biegebelastung, daher ist k = {\sigma _{b,w,N}}.
Diesen Wert entnehmen wir der folgenden Tabelle mit Werkstoffeigenschaften:

werkstoffkennwerte-tabelle

Für C45E ergibt sich ein Wert von {\sigma _{b,w,N}} = 350\frac{N}{{m{m^2}}}.

Wir setzen alle Werte in die Formel für die Gestaltfestigkeit ein:

{\sigma _G} = \frac{{{C_{d,m}} \cdot  {C_{O,\sigma }} \cdot  k}}{{{\beta _{kb}} \cdot  {C_B}}} = \frac{{0,84 \cdot  0,95 \cdot  350\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{1,7 \cdot  2,5}} = 66\frac{N}{{m{m^2}}}

Mit diesem Wert können wir nun die Sicherheit gegen Dauerbruch bestimmen:

{\sigma _G} = {S_D} \cdot  {\sigma _{b,\max }}\quad  \Rightarrow \quad {S_D} = \frac{{{\sigma _G}}}{{{\sigma _{b,\max }}}} = \frac{{66\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{27\frac{N}{{m{m^2}}}}} = 2,4

Dieser Wert ist in Ordnung, da in dieser Situation laut Seminarübung die Sicherheit nur bei 1,5 bis 1,7 liegen müsste.

Als letztes müssen wir die Flächenpressung überprüfen. Es gilt allgemein:

\bar p = \frac{F}{{{A_{proj}}}}

mit der projizierten Fläche {A_{proj}}, die in diesem Fall die relevante Oberfläche des Bolzens ist:

\bar p = \frac{F}{{{A_{proj}}}} = \frac{F}{{2 \cdot  l \cdot  b}} = \frac{{38 \cdot  {{10}^3}N}}{{2 \cdot  30mm \cdot  70mm}} = 9\frac{N}{{m{m^2}}}

Wir betrachten die folgende Tabelle:

flachenpressung-bolzenverbindung

Für einen wechselnden Presssitz mit dem Material E295 ergibt sich eine zulässige Flächenpressung von

\overline {{p_{zul}}}  = 38\frac{N}{{m{m^2}}} \geq 9\frac{N}{{m{m^2}}} = \bar p\quad  \Rightarrow \quad in Ordnung.

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4 Kommentare zu “09 – Auslegung einer komplexen Bolzenverbindung”

C(O,sigma) mit 0,95 abzuschätzen, is das nich n tick zu wenig? also ich find, dass er näher an der 0,97 is, sind das haarspalterein oder reichts, wenns so halbswegs plus minus 0,02 stimmt? (war leider nicht in der übung und kanns nicht beurteilen)

nochmal andreas

und woher hast du das intervall für die kerbwirkzahl?

mfg

C_{O,\sigma} ist ziemlich exakt 0,95. Du musst im oberen Diagramm gucken und nicht im unteren. Ich hab aber eben auch erst falsch geguckt und war schon kurz davor, es zu ändern :D

Die Kerbwirkungszahl habe ich der Tabelle entnommen. Da es sich um eine Querbohrung handelt, musst du bei Eintrag 4 gucken. Da steht das Intervall, für den der angegebene Wert gilt.

Dort wo du die Kerbwirkungszahl ablesen willst scheint mir die Bedingung falsch berechnet zu sein.
Da bei 2r/D wären die Werte (2*3)/70 da der Durchmesser für die Schmierbohrung 6mm ist der Radius dem entsprechend 3. Damit müsste man wohl zum Schluss kommen, dass die Tabelle nur für eine Abschätzung der Kerbwirkungszahl geeignet ist, da das Ergebnis des Quotienten jetzt 0,08 ist und daher das die dort abgelesene Zahl in Wahrheit kleiner ist. In der Übung würde aber trotzdem der Tabellenwert zum Rechnen genommen, da er ausreichend zur Sicherheitsberechnung ist.
Kann aber natürlich auch sein ich irre mich, vor Verwirrung :D

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