3.3 – Ausströmung aus Kessel mit Lavaldüse und Verdichtungsstoß

 

Aus einem Kessel mit der Ruhetemperatur {T_0} wird eine Lavaldüse mit Luft gespeist, die ins Freie strömt. Im Endquerschnitt steht ein senkrechter Verdichtungsstoß.

kessel-ausstromen-lavalduse-verdichtungsstos-querschnitt

Gegeben: {T_0} = 287K, {A_1} = 0,018{m^2}, {A^*} = 0,01{m^2}, {p_a} = 1,0bar, R = 287\frac{J}{{kgK}}, \kappa = 1,4

  1. Berechnen Sie den Massenstrom.
  2. Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf des statischen Drucks in der Düse.

Lösung

a)

Wir bestimmen zunächst die Machzahl direkt vor dem Stoß. Wir suchen das Querschnittsverhältnis

\frac{{{A^*}}}{{{A_1}}} = 0,56

in folgendem Diagramm:

flache-druck-temperatur-mach-zahl-dichte-verhaltnis-diagramm

Es gibt zwei Möglichkeiten. Wir wissen aber, dass vor dem Verdichtungsstoß Überschall-Geschwindigkeit herrscht. Daraus folgt:

M{a_1} = 2,05

Wir können nun das Temperaturverhältnis an dieser Stelle ablesen:

\frac{{{T_1}}}{{{T_0}}} = 0,54\quad \Rightarrow \quad {T_1} = 154,98K

Nun bestimmen wir den Druck vor dem Stoß. Dies ist mit der Stoßbeziehung möglich:

\frac{{{p_2}}}{{{p_1}}} = \frac{{{p_a}}}{{{p_1}}} = 1+\frac{{2\kappa }}{{\kappa +1}}\left( {Ma_1^2-1} \right)

\quad \Rightarrow \quad {p_1} = 2,22 \cdot {10^4}Pa

Für den Massenstrom brauchen wir die Beziehung

\dot m = {\rho _1}{u_1}{A_1}

Es fehlen uns dafür noch Dichte und Geschwindigkeit an Stelle 1.

{p_1} = {\rho _1}R{T_1}\quad \Rightarrow \quad {\rho _1} = \frac{{{p_1}}}{{R{T_1}}} = 0,5\frac{{kg}}{{{m^3}}}

M{a_1} = \frac{{{u_1}}}{a} = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt {\kappa R{T_1}} }}\quad \Rightarrow \quad {u_1} = 511,56\frac{m}{s}

Einsetzen in den Massenstrom:

\dot m = {\rho _1}{u_1}{A_1} = 4,6\frac{{kg}}{s}

b)

lavalduse-druck-verlauf