6.5 – Auswertung des Prinzips von d’Alembert in Lagrange’scher Fassung

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

6.5.1 Virtuelle Arbeit der inneren Kräfte

Die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte lässt sich berechnen durch

\delta {W_\sigma } = \int\limits_V {{{\left\{{\delta \varepsilon } \right\}}^T}\left\{ \sigma \right\}dV} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{{\left\{{\delta {\varepsilon ^m}} \right\}}^T}\left\{{{\sigma ^m}} \right\}d{V^m}} }.

Mit

\left\{{{\sigma ^m}} \right\} = \left[ {{E^m}} \right]\left\{{{\varepsilon ^m}} \right\}+\alpha _\theta ^m\Delta {\theta ^m}\left[ {E_\theta ^m} \right] = \left[ {{E^m}} \right]\left[ {{B^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\}+\alpha _\theta ^m\Delta {\theta ^m}\left[ {E_\theta ^m} \right]

ergibt sich:

\delta {W_\sigma } = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{{\left\{{\delta \hat U} \right\}}^T}{{\left[ {{B^m}} \right]}^T}\left( {\left[ {{E^m}} \right]\left[ {{B^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\}+\alpha _\theta ^m\Delta {\theta ^m}\left[ {E_\theta ^m} \right]} \right)d{V^m}} }

= {\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\left[ {\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left( {\int\limits_{{V^m}} {{{\left[ {{B^m}} \right]}^T}\left[ {{E^m}} \right]\left[ {{B^m}} \right]d{V^m}} \left\{{\hat U} \right\}+\int\limits_{{V^m}} {{{\left[ {{B^m}} \right]}^T}\left[ {E_\theta ^m} \right]\alpha _\theta ^m\Delta {\theta ^m}d{V^m}} } \right)} } \right]

Elementsteifigkeitsmatrix:

\left[ {{k^m}} \right] = \int\limits_{{V^m}} {{{\left[ {{B^m}} \right]}^T}\left[ {{E^m}} \right]\left[ {{B^m}} \right]d{V^m}}

Spaltenvektor der Temperaturspannungen:

\left\{{{T^m}} \right\} = \int\limits_{{V^m}} {\left[ {{B^m}} \right]\left\{{E_\theta ^m} \right\}\alpha _\theta ^m\Delta {\theta ^m}d{V^m}}

\Rightarrow \quad \delta {W_\sigma } = {\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\left[ {\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left( {\left[ {{K^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\}+\left\{{{T^n}} \right\}} \right)} } \right]

6.5.2 Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte

Die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte lässt sich berechnen durch

\delta {W_a} = \int\limits_A {{{\left\{{\delta u} \right\}}^T}\left\{ s \right\}dA} +\int\limits_V {\rho {{\left\{{\delta u} \right\}}^T}\left\{ k \right\}dV}

= \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {\int\limits_{{A^m}} {\left\{{\delta {u^m}} \right\}\left\{{{s^m}} \right\}d{A^m}} +\int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\left\{{\delta {u^m}} \right\}}^T}\left\{{{K^m}} \right\}d{V^m}} } \right]}

Einsetzen der Formfunktionen:

\delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {\int\limits_{{A^m}} {{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left\{{{s^m}} \right\}d{A^m}} +\int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left\{{{K^m}} \right\}d{V^m}} } \right]}

Spaltenvektor der Oberflächenkräfte im Element \boxed m:

\left\{{R_s^m} \right\} = \int\limits_{{A^m}} {{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left\{{{s^m}} \right\}d{A^m}}

Spaltenvektor der Volumenkräfte im Element \boxed m:

\left\{{R_B^m} \right\} = \int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left\{{{K^m}} \right\}d{V^m}}

Einsetzen ergibt:

\delta {W_a} = {\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {\left\{{R_s^m} \right\}+\left\{{R_B^m} \right\}} \right]}

6.5.3 Virtuelle Arbeit der Trägheitskräfte

Wie oben setzen wir die Formfunktionen in die Gleichung für die virtuelle Arbeit ein:

\delta {W_T} = -\int\limits_V {\rho {{\left\{{\delta u} \right\}}^T}\left\{{\ddot u} \right\}dV} = -\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\underbrace {\left\{{\delta {u^m}} \right\}}_{\left[ {{H^m}} \right]\left\{{\delta \hat U} \right\}}}^T}\underbrace {\left\{{{{\ddot u}^m}} \right\}}_{\left[ {{H^m}} \right]\left\{{\hat U} \right\}}d{V^m}} }

= -{\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\left( {\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left[ {{H^m}} \right]d{V^m}} } } \right)\left\{{\hat \ddot U} \right\}

Massenmatrix des Elements \boxed m:

\left[ {{M^m}} \right] = \int\limits_{{V^m}} {{\rho ^m}{{\left[ {{H^m}} \right]}^T}\left[ {{H^m}} \right]d{V^m}}

\Rightarrow \quad \delta {W_T} = -{\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\left( {\sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {{M^m}} \right]} } \right)\left\{{\hat \ddot U} \right\}

Gesamtsystem

Steifigkeitsmatrix: \left[ K \right] = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {{k^m}} \right]}

Massenmatrix: \left[ M \right] = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left[ {{M^m}} \right]}

Volumenkräfte: \left\{{{R_B}} \right\} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left\{{R_B^m} \right\}}

Oberflächenkräfte: \left\{{{R_S}} \right\} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left\{{R_S^m} \right\}}

Temperaturspannungen: \left\{ T \right\} = \sum\limits_{m = 1}^{{N_E}} {\left\{{{T^m}} \right\}}

Insgesamt erhalten wir:

{\left\{{\delta \hat U} \right\}^T}\left( {\left[ K \right]\left\{{\hat U} \right\}+\left\{ T \right\}-\left\{{{R_B}} \right\}-\left\{{{R_S}} \right\}+\left[ M \right]\left\{{\hat \ddot U} \right\}} \right) = 0

Wegen der Beliebigkeit der virtuellen Verschiebungen \left\{{\delta \hat U} \right\} folgt daraus:

\left[ M \right]\left\{{\hat \ddot U} \right\}+\left[ K \right]\left\{{\hat U} \right\} = \left\{{{R_S}} \right\}+\left\{{{R_B}} \right\}-\left\{ T \right\}

Dies ist die Grundgleichung der Finiten Elemente für elasto-dynamische Systeme.

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