33 – Balkenschwingungen 2 – Freie Schwingungen

 

Freie Schwingung bedeutet, dass keine eingeprägte Streckenlast auf den Balken wirkt: qz = 0

Vereinfachende Annahmen:

  • konstante Biegesteifigkeit (EIy = const)
  • konstante Massenbelegung (ρA = const)
  • rotatorische Trägheit wird vernachlässigt
  • es wirken keine Kräfte in Normalrichtung

Die Differentialgleichung vereinfacht sich somit zu

-EI_y w^{\prime\prime\prime\prime}  = \rho A\ddot w

Im Gegensatz zu bisher behandelten Kontinuumschwingern ist die DGL bezüglich des Ortes also von vierter Ordnung!

Der Bernoulli’sche Produktansatz wird wie folgt auf die Problemstellung angewandt:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

wird abgeleitet und in die DGL eingesetzt. Durch Umstellen erhalten wir:

\frac{{-EI_y \hat w^{\prime\prime\prime\prime} }} {{\rho A\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = -\omega _j^2

Nach der Schlussweise von Bernoulli kann eine Ortsfunktion nur dann immer und überall gleich einer Zeitfunktion sein, wenn beide konstant sind. Die Konstante wird mit-ω j2 bezeichnet. Auf diese Weise gelingt die Separation der Variablen, wir erhalten zwei Differentialgleichungen:

\ddot T+\omega _j^2 T = 0

und

w^{\prime\prime\prime\prime} -\frac{{\rho A}} {{EI_y }}\omega _j^2 \hat w = 0

Die Zeitfunktion, d.h. die Lösung der zeitlichen DGL, ist bekanntlich

T_j \left( t \right) = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)

Zur Lösung der “örtlichen” DGL vierter Ordnung führen wir die folgende Abkürzung ein:

\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4  = \omega _j^2 \frac{{\rho A}} {{EI_y }}

Einsetzen:

\hat w^{\prime\prime\prime\prime} -\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4 \hat w = 0

Nun verwenden wir den Exponentialansatz

\hat w = const \cdot e^{\beta x}

und kommen auf die charakteristische Gleichung

\beta ^4 -\left( {\frac{{\lambda _j }} {l}} \right)^4  = 0

mit den vier Lösungen

\beta _{1,2}  =  \pm i\frac{{\lambda _j }} {l}

\beta _{3,4}  =  \pm \frac{{\lambda _j }} {l}

Für die Ortsfunktion folgt damit:

\hat w_j \left( x \right) = D_{1j} e^{+i\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{2j} e^{-i\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{3j} e^{+\lambda _j \frac{x} {l}} +D_{4j} e^{-\lambda _j \frac{x} {l}} ,\quad \quad D_{ij}  \in \mathbb{C}

Nun nutzen wir die Eulersche Formel und erhalten die Ortsfunktion in hyperbolischer Schreibweise:

\hat w_j \left( x \right) = C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)

Die Gesamtlösung ist als Summe der Einzellösungen:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)T_j }

oder ausgeschrieben:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left( {C_{1j} \cos \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {l}} \right)} \right)\left( {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right)}

Um die 6 Konstanten zu bestimmen, verfahren wir analog zu der Saitenschwingung und der Stabschwingung, nämlich indem wir die Randbedingungen und Anfangsbedingungen betrachten.