07 – Banach-Räume und Unterräume

Zunächst einige Worte zum benötigten Vokabular:

Ein Banach-Raum ist ein vollständiger, normierter Vektorraum.

Ein vollständiger Raum ist ein metrischer Raum $E$ , in dem jede Cauchy-Folge von Punkten aus $E$ konvergiert.
So ist etwa der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig, weil zum Beispiel $\pi$ nicht rational ist, es jedoch Folgen rationaler Zahlen gibt, die gegen $\pi$ konvergieren. Es ist immer möglich, einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch die reellen Zahlen.

Eine Metrik ordnet je zwei Elementen eines Raums einen nicht negativen reellen Wert zu, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann. Ein metrischer Raum ist ein Raum, auf dem eine Metrik definiert ist.

Eine Norm ordnet je einem Element eines Raumes einen nicht negativen reellen Wert zu, der als Länge des Elements aufgefasst werden kann. Ein normierter Raum ist ein Raum, auf dem eine Norm definiert ist.

Eine Folge $\left(c_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ einen Index n_krit gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als $\varepsilon$ voneinander entfernt sind. In $\mathbb{R}$ ist dies bei jeder konvergenten Folge der Fall.

Definition:

Ein normierter Raum heißt Banach-Raum wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.

Beispiel:

Sei $S = \mathbb{R}$ bzw $S = \mathbb{C}$
Dann ist S ein Banach-Raum mit der Norm $\left| \alpha \right|$

Kombination von Räumen

Seien ${E_1}$ und ${E_2}$ normierte Räume mit den Normen ${\left\| \cdot \right\|_1}$ und ${\left\| \cdot \right\|_2}$ . Dabei sind 1 und 2 die Indizes der Normen und haben keinen Zusammenhang zur Art der Norm. Dann ist

${E_1} \times {E_2}$

mit der Norm

$\left\| {\left( {{x_1},{x_2}} \right)} \right\|: = {\left\| {{x_1}} \right\|_1}+{\left\| {{x_2}} \right\|_2}$

ein normierter Raum.

Sind ${E_1}$ und ${E_2}$ Banach-Räume, dann auch ${E_1} \times {E_2}$

Bemerkung: Anstelle der angegebenen Norm können auch verwendet werden:

$\left\| {\left( {{x_1},{x_2}} \right)} \right\|: = \max \left\{ {{{\left\| {{x_1}} \right\|}_1},{{\left\| {{x_2}} \right\|}_2}} \right\}$

oder

$\left\| {\left( {{x_1},{x_2}} \right)} \right\|: = \sqrt {{{\left\| {{x_1}} \right\|}_1}^2+{{\left\| {{x_2}} \right\|}_2}^2}$

Einige deduktive Aussagen

Sei $E$ ein normierter Raum und $F \subset E$ ein Untervektorraum. Dann gelten die folgenden Aussagen:

Mit $F$ ist auch $\overline F = cl\left( F \right)$ ein Untervektorraum von $E$ .
Ist $F$ vollständig, dann ist $F$ abgeschlossen.
In einem Banach-Raum E gilt die Umkehrung.
Sei $F$ endlich-dimensional. Dann ist $F$ vollständig und abgeschlossen.

Stetigkeit

Zu 4: Sei $\dim F = r \in \mathbb{N}$ und $\left\{ {{e_1}, \ldots ,{e_r}} \right\}$ eine lineare Basis. Sei $S$ der Skalarkörper, über dem $F$ modelliert ist. $x \in S^r$ ist dann ein Vektor aus Skalaren. Die Anzahl der Einträge im Vekor entspricht der Dimension von $F$ . Daher kann man durch die Kombination der Elemente des Vektors $x$ mit den Elementen der linearen Basis eine Koordinate im Raum bezüglich der Basis angeben. Dies lässt sich auf eine Koordinatenfunktion verallgemeinern, die jedem Skalar-Vektor eine Position im Raum bezüglich der Basis zuordnet.

Diese durch

$\tilde x = \left( {{\alpha _1},{\alpha _2}, \ldots ,{\alpha _r}} \right) \in {S^r} \mapsto f\left( {\tilde x} \right) = \sum\limits_{j = 1}^r {{\alpha _j}{e_j}} \in F$

definierte Abbildung $f$ ist linear und bijektiv.

Behauptung: $f$ und ${f^{-1}}$ sind beide stetig.

Beweis

Mit der euklidischen Norm $\left| {\tilde x} \right|$ von ${\tilde x}$ in ${S^r}$ gilt:

$\left| {{\alpha _j}} \right| \leq \sqrt {\sum {{{\left| {{\alpha _j}} \right|}^2}} } = \left| {\tilde x} \right|$

und

$\left\| {f\left( {\tilde x} \right)} \right\| = \left\|\sum\limits_{j = 1}^r {{\alpha _j}{e_j}}\right\| \leq \sum {\left| {{\alpha _j}} \right|\left\| {{e_j}} \right\|} \leq \left| {\tilde x} \right|\sum {\left\| {{e_j}} \right\|} = :{M_1} > 0$

Es gilt also

$\left\| {f\left( {\tilde x} \right)} \right\| \leq {M_1}\left| {\tilde x} \right|,\forall \tilde x \in {S^r}$

Sei nun

$\varepsilon > 0$

gegeben. Dann folgt wegen Linearität zu f

$\left\| {f\left( {\tilde x} \right)-f\left( {\tilde y} \right)} \right\| = \left\| {f\left( {\tilde x-\tilde y} \right)} \right\| \leq {M_1}\left| {\tilde x-\tilde y} \right| < \varepsilon$

sofern

$\left| {\tilde x-\tilde y} \right| < {\delta _1}\left( \varepsilon \right): = \frac{\varepsilon } {{{M_1}}}$

Also ist f stetig!

Nun zeigen wir, dass auch die Umkehrfunktion stetig ist:

Dazu betrachten wir

$g: = \left\| \cdot \right\| \circ f:{S^r} \to \mathbb{R}$

Diese Funktion ist stetig.

Zunächst

$g\left( {\tilde x} \right) = \left\| {f\left( {\tilde x} \right)} \right\| = \left\| {\sum\limits_{j = 1}^r {{\alpha _j}{e_j}} } \right\| \geq 0,\forall \tilde x \in {S^r}$

Sei

$\delta K = \left\{ {\tilde x \in {S^r}|\left| {\tilde x} \right| = 1} \right\}$

der Rand der Einheitskugel in ${S^r}$

$\delta K$ ist beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Dann besitzt die Einschränkung

$g|\partial K$ zu $g$ auf $\partial K$ ein Minimum. Es gilt:

$\exists {{\tilde x}_0} \in \partial K:g|\partial K\left( {\tilde x} \right) \geq \min \left\{ {g|\partial K\left( {\tilde x} \right)} \right\},\tilde x \in \partial K$

Es ist $\tilde 0 \notin \partial K$ und daher ${M_2} = \left\| {f\left( {{{\tilde x}_0}} \right)} \right\| > 0$

Für beliebige

$\left| {\tilde x} \right| > 0,\quad \frac{{\tilde x}} {{\left| {\tilde x} \right|}} \in \partial K$

und

$g\left( {\tilde x} \right) = \left\| x \right\| = \left| {\tilde x} \right|\frac{{\left\| x \right\|}} {{\left| {\tilde x} \right|}} = \left| {\tilde x} \right|g\left( {\frac{x} {{\left| {\tilde x} \right|}}} \right) \geq {M_2}\left| {\tilde x} \right|,\quad \left| {\tilde x} \right| \in \partial K$

Dies gilt auch für $\tilde x = \tilde 0$ .

Unter Berücksichtigung der Definition von ${f^{-1}}$ erhalten wir

$\left| {{f^{-1}}\left( x \right)} \right| = \left| {\tilde x} \right| \leq \frac{1} {{{M_2}}}\left\| x \right\|$

Weil die Umkehrfunktion linear ist, folgt zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ :

$\left| {{f^{-1}}\left( x \right)-{f^{-1}}\left( y \right)} \right| = \left| {{f^{-1}}\left( {x-y} \right)} \right| \leq \frac{1} {{{M_2}}}\left\| {x-y} \right\| < \varepsilon$

falls

$\left\| {x-y} \right\| < {\delta _2} = {M_2}\varepsilon$

Somit ist die Behauptung bewiesen.

Separabel und dicht

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Eine Teilmenge liegt dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ . da man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge F, sie liege dicht in einem topologischen Raum E, wenn jede (beliebig kleine) Umgebung eines beliebigen Punktes x aus E immer auch ein Element aus F enthält.

Definition:

Sei $E$ ein normierter Raum. Dann heißt $E$ separabel, wenn es eine Folge

${\left\{ {{x_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}} \subset E$

gibt mit

$\overline {\bigcup\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {{x_\nu }} } = E$

Im folgenden werden wir ein $F \subset E$ Unterraum nennen, wenn $E$ ein normierter Raum ist. Es gilt dann:

1. $F$ ist ein Untervektorraum

2. $F$ ist abgeschlossen

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