Zunächst einige Worte zum benötigten Vokabular:
Ein Banach-Raum ist ein vollständiger, normierter Vektorraum.
Ein vollständiger Raum ist ein metrischer Raum , in dem jede Cauchy-Folge von Punkten aus
konvergiert.
So ist etwa der Raum der rationalen Zahlen nicht vollständig, weil zum Beispiel nicht rational ist, es jedoch Folgen rationaler Zahlen gibt, die gegen
konvergieren. Es ist immer möglich, einen unvollständigen metrischen Raum zu vervollständigen. Im Fall der rationalen Zahlen erhält man dadurch die reellen Zahlen.
Eine Metrik ordnet je zwei Elementen eines Raums einen nicht negativen reellen Wert zu, der als Abstand der beiden Elemente voneinander aufgefasst werden kann. Ein metrischer Raum ist ein Raum, auf dem eine Metrik definiert ist.
Eine Norm ordnet je einem Element eines Raumes einen nicht negativen reellen Wert zu, der als Länge des Elements aufgefasst werden kann. Ein normierter Raum ist ein Raum, auf dem eine Norm definiert ist.
Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem
einen Index nkrit gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als
voneinander entfernt sind. In
ist dies bei jeder konvergenten Folge der Fall.
Definition:
Ein normierter Raum heißt Banach-Raum wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert.
Beispiel:
Sei bzw
Dann ist S ein Banach-Raum mit der Norm
Kombination von Räumen
Seien und
normierte Räume mit den Normen
und
. Dabei sind 1 und 2 die Indizes der Normen und haben keinen Zusammenhang zur Art der Norm. Dann ist
mit der Norm
ein normierter Raum.
Sind und
Banach-Räume, dann auch
Bemerkung: Anstelle der angegebenen Norm können auch verwendet werden:
oder
Einige deduktive Aussagen
Sei ein normierter Raum und
ein Untervektorraum. Dann gelten die folgenden Aussagen:
-
Mit
ist auch
ein Untervektorraum von
.
-
Ist
vollständig, dann ist
abgeschlossen.
- In einem Banach-Raum E gilt die Umkehrung.
-
Sei
endlich-dimensional. Dann ist
vollständig und abgeschlossen.
Stetigkeit
Zu 4: Sei und
eine lineare Basis. Sei
der Skalarkörper, über dem
modelliert ist.
ist dann ein Vektor aus Skalaren. Die Anzahl der Einträge im Vekor entspricht der Dimension von
. Daher kann man durch die Kombination der Elemente des Vektors
mit den Elementen der linearen Basis eine Koordinate im Raum bezüglich der Basis angeben. Dies lässt sich auf eine Koordinatenfunktion verallgemeinern, die jedem Skalar-Vektor eine Position im Raum bezüglich der Basis zuordnet.
Diese durch
definierte Abbildung ist linear und bijektiv.
Behauptung: und
sind beide stetig.
Beweis
Mit der euklidischen Norm von
in
gilt:
und
Es gilt also
Sei nun
gegeben. Dann folgt wegen Linearität zu f
sofern
Also ist f stetig!
Nun zeigen wir, dass auch die Umkehrfunktion stetig ist:
Dazu betrachten wir
Diese Funktion ist stetig.
Zunächst
Sei
der Rand der Einheitskugel in
ist beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Dann besitzt die Einschränkung
zu
auf
ein Minimum. Es gilt:
Es ist und daher
Für beliebige
und
Dies gilt auch für .
Unter Berücksichtigung der Definition von erhalten wir
Weil die Umkehrfunktion linear ist, folgt zu vorgegebenem :
falls
Somit ist die Behauptung bewiesen.
Separabel und dicht
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.
Eine Teilmenge liegt dicht in einem metrischen Raum, wenn man jeden Punkt des Gesamtraums beliebig genau durch einen Punkt aus der Teilmenge approximieren kann. So bilden die rationalen Zahlen eine dichte Teilmenge in der Menge der reellen Zahlen
. da man irrationale Zahlen beliebig genau durch rationale Brüche approximieren kann. Allgemeiner sagt man von einer Teilmenge F, sie liege dicht in einem topologischen Raum E, wenn jede (beliebig kleine) Umgebung eines beliebigen Punktes x aus E immer auch ein Element aus F enthält.
Definition:
Sei ein normierter Raum. Dann heißt
separabel, wenn es eine Folge
gibt mit
Im folgenden werden wir ein Unterraum nennen, wenn
ein normierter Raum ist. Es gilt dann:
1. ist ein Untervektorraum
2. ist abgeschlossen