Basisvektortransformation

 

Dieser Artikel beschreibt die Transformation der orts- uns winkelfesten Einheitsvektoren (Inertialsystem) in andere Basisvektoren.

Im folgenden Fall verändern sich die neuen Basisvektoren \vec e_\phi und \vec e_r mit dem Winkel φ, der von der Zeit abhängig ist:

Basisvektortransformation_1

Zur Vereinfachung legen wir nun die beiden Koordinatensysteme übereinander:

Basisvektortransformation_2

Als nächstes folgt die mathematische Beschreibung der neuen Basisvektoren durch die alten:

Basisvektortransformation_3

Verdeutlichung: \cos \phi  \; \vec e_x = 1•cos φ in Richtung \vec e_x

Hinweis: Einheitsvektoren haben immer die Länge 1.

Aus der Zeichnung folgt nun:

\vec e_r  = \cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y

\vec e_\phi   = -\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y

Nun wollen wir auch die Rücktransformation betrachten. Dabei liegen die rechten Winkel nun an den neuen Vektoren:

Basisvektortransformation_4

Verdeutlichung: - \sin \phi  \; \vec e_\phi ist der Vektor für den sin(φ) in Richtung von -\vec e_\phi

\vec e_x  = \cos \phi \:\vec e_r -\sin \phi \:\vec e_\phi

\vec e_y  = \sin \phi \:\vec e_r +\cos \phi \:\vec e_\phi
Zu beachten
Da die Basisvektoren nun nicht mehr starr an Ort und Stelle bleiben, hängen sie von der Zeit ab und müssen bei Berechnungen mit abgeleitet werden:

\dot {\vec e}_r  = \left[ {\cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y } \right]^ \bullet   = -\dot \phi \sin \phi \:\vec e_x +\dot \phi \cos \phi \:\vec e_y  = \dot \phi \underbrace {\left( {-\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y } \right)}_{\vec e_\phi  } = \dot \phi \:\vec e_\phi

\dot {\vec e}_\phi   = \left[ {-\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y } \right]^ \bullet   = -\dot \phi \cos \phi \:\vec e_x -\dot \phi \sin \phi \:\vec e_y  = -\dot \phi \underbrace {\left( {\cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y } \right)}_{\vec e_r } = -\dot \phi \:\vec e_r

Kurz:
\dot {\vec e}_r  = \dot \phi \:\vec e_\phi

\dot {\vec e}_\phi   = -\dot \phi \:\vec e_r

Darstellung von Richtungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor in der neuen Basis

Für den Richtungsvektor gilt:

\vec r = r_{\left( t \right)} \:\vec e_r

Für den Geschwindigkeitsvektor gilt somit:

\dot {\vec r} = \vec v = \dot r\:\vec e_r +r\:\underbrace {\dot {\vec e}_r }_{\dot \phi \:\vec e_\phi  } = \underbrace {\dot r\:\vec e_r }_{\vec v_r }+\underbrace {r\:\dot \phi \:\vec e_\phi  }_{\vec v_f }

\vec v_r  = \dot r\:\vec e_r \quad :Relativgeschwindigkeit

\vec v_f  = r\:\dot \phi \:\vec e_\phi  \quad :F\ddot uhrungsgeschwindigkeit

Für den Beschleunigungsvektor gilt somit:

\dot {\vec r} = \dot {\vec v} = \vec a = \ddot r\:\vec e_r +\dot r\:\dot {\vec e}_r +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_\phi  +r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi  +r\:\dot \phi \:\underbrace {\dot {\vec e}_\phi  }_{-\dot \phi \:\vec e_r }

= \ddot r\:\vec e_r +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_{\phi  _r} +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_\phi  +r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi  -r\:\dot \phi ^2 \:\vec e_r

= \underbrace {\ddot r\:\vec e_r }_{\vec a_r }+\underbrace {2\:\dot r\:\dot \phi \:\vec e_{\phi  _r }}_{\vec a_c }+\underbrace {r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi  -r\:\dot \phi ^2 \:\vec e_r }_{\vec a_f }

\vec a_r  = \ddot r\:\vec e_r \quad :Relativbeschleunigung

\vec a_c  = 2\:\dot r\:\dot \phi \:\vec e_\phi  \quad :Coriolisbeschleunigung

\vec a_f  = r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi  -r\:\dot \phi ^2 \:\vec e_r \quad :F\ddot{u}hrungsbeschleunigung

Abschließend lässt sich noch sagen:

\vec v = \vec v_r +\vec v_f

\vec a = \vec a_r +\vec a_c +\vec a_f

\mathcal{JK}