Basisvektortransformation

Dieser Artikel beschreibt die Transformation der orts- uns winkelfesten Einheitsvektoren (Inertialsystem) in andere Basisvektoren.

Im folgenden Fall verändern sich die neuen Basisvektoren $\vec e_\phi$ und $\vec e_r$ mit dem Winkel φ, der von der Zeit abhängig ist:

Basisvektortransformation_1

Zur Vereinfachung legen wir nun die beiden Koordinatensysteme übereinander:

Basisvektortransformation_2

Als nächstes folgt die mathematische Beschreibung der neuen Basisvektoren durch die alten:

Basisvektortransformation_3

Verdeutlichung: $\cos \phi \; \vec e_x$ = 1•cos φ in Richtung $\vec e_x$

Hinweis: Einheitsvektoren haben immer die Länge 1.

Aus der Zeichnung folgt nun:

$\vec e_r = \cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y$

$\vec e_\phi = -\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y$

Nun wollen wir auch die Rücktransformation betrachten. Dabei liegen die rechten Winkel nun an den neuen Vektoren:

Basisvektortransformation_4

Verdeutlichung: $- \sin \phi \; \vec e_\phi$ ist der Vektor für den sin(φ) in Richtung von - $\vec e_\phi$

$\vec e_x = \cos \phi \:\vec e_r -\sin \phi \:\vec e_\phi$

$\vec e_y = \sin \phi \:\vec e_r +\cos \phi \:\vec e_\phi$
Zu beachten
Da die Basisvektoren nun nicht mehr starr an Ort und Stelle bleiben, hängen sie von der Zeit ab und müssen bei Berechnungen mit abgeleitet werden:

$\dot {\vec e}_r = \left[ {\cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y } \right]^ \bullet = -\dot \phi \sin \phi \:\vec e_x +\dot \phi \cos \phi \:\vec e_y = \dot \phi \underbrace {\left( {-\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y } \right)}_{\vec e_\phi } = \dot \phi \:\vec e_\phi$

$\dot {\vec e}_\phi = \left[ {-\sin \phi \:\vec e_x +\cos \phi \:\vec e_y } \right]^ \bullet = -\dot \phi \cos \phi \:\vec e_x -\dot \phi \sin \phi \:\vec e_y = -\dot \phi \underbrace {\left( {\cos \phi \:\vec e_x +\sin \phi \:\vec e_y } \right)}_{\vec e_r } = -\dot \phi \:\vec e_r$

Kurz:
$\dot {\vec e}_r = \dot \phi \:\vec e_\phi$

$\dot {\vec e}_\phi = -\dot \phi \:\vec e_r$

Darstellung von Richtungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor in der neuen Basis

Für den Richtungsvektor gilt:

$\vec r = r_{\left( t \right)} \:\vec e_r$

Für den Geschwindigkeitsvektor gilt somit:

$\dot {\vec r} = \vec v = \dot r\:\vec e_r +r\:\underbrace {\dot {\vec e}_r }_{\dot \phi \:\vec e_\phi } = \underbrace {\dot r\:\vec e_r }_{\vec v_r }+\underbrace {r\:\dot \phi \:\vec e_\phi }_{\vec v_f }$

$\vec v_r = \dot r\:\vec e_r \quad :Relativgeschwindigkeit$

$\vec v_f = r\:\dot \phi \:\vec e_\phi \quad :F\ddot uhrungsgeschwindigkeit$

Für den Beschleunigungsvektor gilt somit:

$\dot {\vec r} = \dot {\vec v} = \vec a = \ddot r\:\vec e_r +\dot r\:\dot {\vec e}_r +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_\phi +r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi +r\:\dot \phi \:\underbrace {\dot {\vec e}_\phi }_{-\dot \phi \:\vec e_r }$

$= \ddot r\:\vec e_r +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_{\phi _r} +\dot r\:\dot \phi \:\vec e_\phi +r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi -r\:\dot \phi ^2 \:\vec e_r$

$= \underbrace {\ddot r\:\vec e_r }_{\vec a_r }+\underbrace {2\:\dot r\:\dot \phi \:\vec e_{\phi _r }}_{\vec a_c }+\underbrace {r\:\ddot \phi \:\vec e_\phi -r\:\dot \phi ^2 \:\vec e_r }_{\vec a_f }$