Beispiel 1.9 – Sigma-Algebra (!)

 

Sei Ω eine überabzählbare Menge und A \in \mathcal{F} genau dann, wenn A oder A^c abzählbar ist. Zeigen Sie, dass \mathcal{F} eine σ-Algebra ist.

Lösung

Ω ist überabzählbar

\mathcal{F}: = \left\{ {A \subseteq \Omega |\left| A \right|\:ist\:abz\ddot ahlbar\:oder\left| {A^c } \right|\:ist\:abz\ddot ahlbar} \right\}
Heißt also, A ist dann in \mathcal{F}, wenn A selbst oder aber sein Komplement abzählbar sind.

Um nun zu zeigen, dass es sich bei \mathcal{F} tatsächlich um eine σ-Algebra handelt, müssen wir überprüfen, ob die 3 Bedingungen, die für eine σ-Algebra gelten müssen, erfüllt sind.

1)

Es muss gelten: \Omega  \in \mathcal{F}

Nach Vorraussetzung gilt, dass eine Menge dann in \mathcal{F} ist, wenn sie selbst oder aber ihr Komplement abzählbar ist.

Ω ist überabzählbar

Ihr Komplement dagegen ist \Omega ^c  = \emptyset = abzählbar.

Daher ist Ω selbst also auch in \mathcal{F} enthalten.

2)

Es muss die Bedingung gelten: A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c  \in \mathcal{F}

Heißt also, wenn A in \mathcal{F} ist, so muss daraus folgen, dass auch sein Komplement in \mathcal{F} ist.

Sei also A \in \mathcal{F}, dann können wir genau 2 Fälle unterscheiden:

1. Fall: A ist abzählbar

Es gilt: A = \left( {A^c } \right)^c  = abz\ddot ahlbar

Wie wir wissen, ist eine Menge in \mathcal{F}, wenn sie selbst oder ihr Komplement abzählbar ist. A^c muss also auch in \mathcal{F} sein, denn ihr Komplement ist ja A und A ist abzählbar.

2. Fall: A^c ist abzählbar. Damit ist A^c automatisch in \mathcal{F}, da es abzählbar ist.

3)

Als dritte Bedingung muss jetzt noch gezeigt werden, dass die Vereinigung von allen A_i, die in \mathcal{F} sind, auch wieder in F ist:
A_i  \in \mathcal{F}\quad ,\quad i \in \mathbb{N}\quad  \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \in \mathcal{F}}
Auch hier unterscheiden wir wieder 2 Fälle:

1. Fall: alle A_i sind abzählbar.
\Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i } abzählbar und somit \in \mathcal{F}

2. Fall: mindestens ein A_i ist nicht abzählbar:

Damit ist die Vereinigung auch nicht abzählbar. Ihr Komplement dagegen ist es.

\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i } } \right)^c  = \bigcap\limits_{i = 1}^\infty  {A_i ^c } = abzählbar \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {A_i  \in \mathcal{F}}, da ihr Komplement abzählbar ist.

(Im Schnitt befindet sich mindestens eine abzählbare Menge, womit der ganze Schnitt abzählbar wird)

Zur Verdeutlichung noch ein paar Bilder:

Vereinigungsmenge

Komplementmengen

Vereinigungskomplement

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3 Kommentare zu “Beispiel 1.9 – Sigma-Algebra (!)”

Warum soll das Komplement einer nicht abzählbaren Untermenge einer nicht abzählbaren Menge abzählbar sein.
Beispiel Omega = R ; A=[0,1] ist nicht abzählbar und R\[0,1] ist auch nicht abzählbar.

“Warum soll das Komplement einer nicht abzählbaren Untermenge einer nicht abzählbaren Menge abzählbar sein.”
Deshalb, weil nach Definition für alle A_i gelten muss, dass entweder sie oder ihr Komplement abzählbar sind. Befindet sich aber mindestens ein überabzählbares A_i in der Vereinigung, so muss nach Definition dessen Komplement abzählbar sein, da es sonst nicht Element der Sigma-Algebra wäre.
Somit ist mindestens ein Element des Schnittes des Komplemente der A_i abzählbar und somit der gesamte Schnitt abzählbar.

bitte, Die Bedeutungen der Symbolen wie A^c (groß A hoch klein c), U S W., kann man hier finden? Wo?
Danke Schön!

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