Beispiel 1.9 – Sigma-Algebra (!)

Sei Ω eine überabzählbare Menge und $ A \in \mathcal{F} $ genau dann, wenn A oder A^c abzählbar ist. Zeigen Sie, dass $ \mathcal{F} $ eine σ-Algebra ist.

Lösung

Ω ist überabzählbar

$ \mathcal{F}: = \left\{ {A \subseteq \Omega |\left| A \right|\:ist\:abz\ddot ahlbar\:oder\left| {A^c } \right|\:ist\:abz\ddot ahlbar} \right\} $
Heißt also, A ist dann in $ \mathcal{F} $ , wenn A selbst oder aber sein Komplement abzählbar sind.

Um nun zu zeigen, dass es sich bei $ \mathcal{F} $ tatsächlich um eine σ-Algebra handelt, müssen wir überprüfen, ob die 3 Bedingungen, die für eine σ-Algebra gelten müssen, erfüllt sind.

1)

Es muss gelten: $ \Omega \in \mathcal{F} $

Nach Vorraussetzung gilt, dass eine Menge dann in $ \mathcal{F} $ ist, wenn sie selbst oder aber ihr Komplement abzählbar ist.

Ω ist überabzählbar

Ihr Komplement dagegen ist $ \Omega ^c = \emptyset $ = abzählbar.

Daher ist Ω selbst also auch in $ \mathcal{F} $ enthalten.

2)

Es muss die Bedingung gelten: $ A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F} $

Heißt also, wenn A in $ \mathcal{F} $ ist, so muss daraus folgen, dass auch sein Komplement in $ \mathcal{F} $ ist.

Sei also $ A \in \mathcal{F} $ , dann können wir genau 2 Fälle unterscheiden:

1. Fall: A ist abzählbar

Es gilt: $ A = \left( {A^c } \right)^c = abz\ddot ahlbar $

Wie wir wissen, ist eine Menge in $ \mathcal{F} $ , wenn sie selbst oder ihr Komplement abzählbar ist. A^c muss also auch in $ \mathcal{F} $ sein, denn ihr Komplement ist ja A und A ist abzählbar.

2. Fall: A^c ist abzählbar. Damit ist A^c automatisch in $ \mathcal{F} $ , da es abzählbar ist.

3)

Als dritte Bedingung muss jetzt noch gezeigt werden, dass die Vereinigung von allen A_i , die in $ \mathcal{F} $ sind, auch wieder in F ist:
$ A_i \in \mathcal{F}\quad ,\quad i \in \mathbb{N}\quad \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i \in \mathcal{F}} $
Auch hier unterscheiden wir wieder 2 Fälle:

1. Fall: alle A_i sind abzählbar.
$ \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } $ abzählbar und somit $ \in \mathcal{F} $

2. Fall: mindestens ein A_i ist nicht abzählbar:

Damit ist die Vereinigung auch nicht abzählbar. Ihr Komplement dagegen ist es.

$ \left( {\bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i } } \right)^c = \bigcap\limits_{i = 1}^\infty {A_i ^c } $ = abzählbar $ \Rightarrow \quad \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {A_i \in \mathcal{F}} $ , da ihr Komplement abzählbar ist.