Beispiel: Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

 

Gegeben sei folgende gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

{y^{\prime \prime }}\left( x \right)+a{y^\prime }\left( x \right)+by\left( x \right) = 0\quad ,\quad a,b \in \mathbb{R}

Lösen Sie diese und führen Sie eine Fallunterscheidung durch.

Lösung

Wir nutzen zur Lösung den Exponentialansatz:

y\left( x \right) = {e^{\lambda x}}

Mit diesem bekommen wir:

{\lambda ^2}{e^{\lambda x}}+a\lambda {e^{\lambda x}}+b{e^{\lambda x}} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\lambda ^2}+a\lambda +b = 0

\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{1,2}} = \frac{{-a \pm \sqrt {{a^2}-4b} }}{2}

1. Fall

{a^2} > 4b\quad \Rightarrow \quad {\lambda _1},\;{\lambda _2} reel und {\lambda _1} \ne {\lambda _2}:

Die vollständige allgemeine Lösung lautet:

\lambda \left( x \right) = {c_1}{e^{{\lambda _1}x}}+{c_2}{e^{{\lambda _2}x}}

2. Fall

{a^2} < 4b\quad \Rightarrow \quad {\lambda _1},\;{\lambda _2} komplex, also {\lambda _1} = {\bar \lambda _2}:

Die vollständige allgemeine Lösung lautet mit {\lambda _1} = \alpha +\beta i\quad ,\quad \beta \ne 0:

y\left( x \right) = {c_1}\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _1}x}}} \right)+{c_2}\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _1}x}}} \right)

\Updownarrow

y\left( x \right) = {c_1}{e^{\alpha x}}\cos \left( {\beta x} \right)+{c_2}{e^{\alpha x}}\sin \left( {\beta x} \right)

\Updownarrow

y\left( x \right) = {c_1}\operatorname{Re} \left( {{e^{{\lambda _2}x}}} \right)-{c_2}\operatorname{Im} \left( {{e^{{\lambda _2}x}}} \right)

Hinweis (Eulersche Formeln):

{e^{ \pm i\varphi }} = \cos \varphi \pm i\sin \varphi \quad ,\quad {e^{ \pm \varphi }} = \cosh \varphi \pm i\sinh \varphi

3. Fall

{a^2} = 4b\quad \Rightarrow \quad {\lambda _1},\;{\lambda _2} reel und {\lambda _1} = {\lambda _2} = -\frac{a}{2}:

Als Ansatz verwenden wir die „Variation der Konstanten“:

Wähle y\left( x \right) = c\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}, so folgt:

{y^\prime }\left( x \right) = {c^\prime }\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}+c\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}{\lambda _1}

und

{y^{\prime \prime }}\left( x \right) = {c^{\prime \prime }}\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}+{c^\prime }\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}{\lambda _1}+{c^\prime }\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}{\lambda _1}+c\left( x \right){e^{{\lambda _1}x}}\lambda _1^2

Einsetzen in die gegebene gewöhnliche Differentialgleichung liefert:

c\left( x \right) = {c_1}+{c_2}x\quad ,\quad {c_1},\;{c_2} \in \mathbb{R}

und somit

y\left( x \right) = {c_1}{e^{-\frac{{ax}}{2}}}+{c_2}x{e^{-\frac{{ax}}{2}}}

Beispiele

  1. Gegeben sei:

    {y^{\prime \prime }}\left( x \right)-4{y^\prime }\left( x \right)+4y\left( x \right) = 0

    Wegen {\lambda _1} = {\lambda _2} = 2 ergibt sich:

    y\left( x \right) = {c_1}{e^{2x}}+{c_2}x{e^{2x}}

  2. Gegeben sei:

    {y^{\prime \prime }}\left( x \right)-6{y^\prime }\left( x \right)+34y\left( x \right) = 0

    Wegen {\lambda _1} = 3+5i,\quad {\lambda _2} = 3-5i ergibt sich:

    y\left( x \right) = {c_1}{e^{3x}}\cos \left( {5x} \right)+{c_2}{e^{3x}}\sin \left( {5x} \right)

\mathcal{J}\mathcal{K}