Beispiel: Stichprobenquantil, Ordnungs- und Rangpermutation

Ordnungspermutation und Ordnungsstatistik

Sei $Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ eine einfache reellwertige (d.h. $\forall X_i \in \mathbb{R},\quad i = 1, \ldots ,n$ ) Stichprobe vom Umfang n.

Bsp.: n = 6:

$\mathfrak{S}_n$ sei die Menge aller Permutationen von $\left\{ {1, \ldots ,n} \right\}$ , also aller „Vertauschungen“ der Reihenfolge der Zufallsvariablen.
Es existiert eine $\mathfrak{S}_n$ -wertige Zufallsgröße o (auf dem zugrunde liegenden W-Raum) derart, dass stets gilt:

$X_{o\left( 1 \right)} \leq \ldots \leq X_{o\left( n \right)}$

Diese Zufallsgröße o nennt man Ordnungspermutation.

Setze für $i = 1, \ldots ,n\quad X_{i:n} : = X_{o\left( i \right)}$ (die i-te Ordnungsgröße) und $O^{\left( n \right)} \left( Z \right): = \left( {X_{i:n} , \ldots ,X_{n:n} } \right)$ .

Der Zufallsvektor $O^{\left( n \right)} \left( Z \right)$ heißt (aufsteigende) Ordnungsstatistik zur Stichprobe $Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ .

Im Bsp.:

$\begin{array}{*{20}c} i &\vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & 4 &\vline & 5 &\vline & 6 &\vline & {i = 1, \ldots ,n} \\ \hline {x_i } &\vline & 3 &\vline & 1 &\vline & {-2} &\vline & 0 &\vline & 2 &\vline & {-1} &\vline & {Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)} \\ \hline {x_{o\left( i \right)} = x_{i:6} } &\vline & {-2} &\vline & {-1} &\vline & 0 &\vline & 1 &\vline & 2 &\vline & 3 &\vline & {O^{\left( n \right)} \left( Z \right): = \left( {X_{i:n} , \ldots ,X_{n:n} } \right)} \\ \hline {o\left( i \right)} &\vline & 3 &\vline & 6 &\vline & 4 &\vline & 2 &\vline & 5 &\vline & 1 &\vline & {X_{o\left( 1 \right)} \leq \ldots \leq X_{o\left( n \right)} } \\ \end{array}$

( $o\left( i \right)$ gibt also an, an welcher Position sich ein bestimmtes Element vor dem Einsortieren befand.)

Rangpermutation

Sei immer noch $Z = \left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ eine einfache reellwertige stetig verteilte Stichprobe vom Umfang n und sei o die (f.s.) eindeutig bestimmte Ordnungspermutation.

Für $i = 1, \ldots ,n$ sei $R\left( i \right): = \left| {\left\{ {v = 1, \ldots ,n|X_v \leq X_i } \right\}} \right|$ : aufsteigender Rang von $X_i$ .

(Also der Betrag der Menge (die Anzahl) aller $X_v$ die kleiner oder gleich $X_i$ sind)

$R: = \left( {R\left( 1 \right), \ldots ,R\left( n \right)} \right)$ ist (f.s.) eine $\mathfrak{S}_n$ -wertige Zufallsgröße und heißt Rangpermutation.

Im Bsp.:

Es gilt:

$R = o^{-1}$ (f.s.)

Denn:

$R \circ o\left( i \right) = R\left( {o\left( i \right)} \right) = i$

Bsp.: $R\left( {o\left( 1 \right)} \right) = R\left( 6 \right) = 1$

Zudem gilt: R und o sind gleichverteilt auf $\mathfrak{S}_n$ , d.h. für alle $\pi \in \mathfrak{S}_n$ ist $P\left( {R = \pi } \right) = P\left( {o^{-1} = \pi } \right) = \frac{1} {{n!}}$

Deshalb nennt man R und o (rein) zufällige Permutationen.

Ein weiteres Bespiel:

n = 10
Realisierung: $X_1 , \ldots ,X_{10}$

Ordnungsstatistik: $X_{1:10} , \ldots ,X_{10:10}$

Ordnungspermutation: $\left( {o\left( 1 \right), \ldots ,o\left( {10} \right)} \right)$

Grafik

Stichprobenquantile

Sei weiterhin $\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ eine einfache reellwertige Stichprobe vom Umfang n.

Sei $F_n$ die zugehörige empirische Verteilungsfunktion und sei $\alpha \in \left[ {0,1} \right]$ .

Eine Stichprobenfunktion $\mu _{\alpha ,n}$ heißt ein α-Quantil der Stichprobe $\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$ , falls

$F_n \left( {\mu _{\alpha ,n} -} \right) \leq \alpha \leq F_n \left( {\mu _{\alpha ,n} } \right)$ P-fast sicher.

Im Folgenden sei $\alpha \in \left[ {0,1} \right]$ fest vorgegeben.

Es gelten:

1. $X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor +1:n}$ ist ein α-Quantil der Stichprobe $\left( {X_1 , \ldots ,X_n } \right)$

Die eckigen Klammern entsprechen in diesem Fall den so genannten Gaußklammern:

$\left[ x \right] = \lfloor x \rfloor : = \max _{k \in \mathbb{Z},k \leq x} (k)$ = Abrundung auf die nächste ganze Zahl.

2. Für jedes α-Stichprobenquantil $\mu _{\alpha ,n}$ gilt: $X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor :n} \leq \mu _{\alpha ,n} \leq X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor +1:n}$

3. Ist $n\alpha \notin \mathbb{Z}$ , so ist $X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor +1:n}$ das f.s. eindeutig bestimmte α-Stichprobenquantil.

4. Ist $n\alpha \in \mathbb{Z}$ so ist jede Stichprobenfunktion $\mu _{\alpha ,n}$ mit $X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor :n} \leq \mu _{\alpha ,n} \leq X_{\left\lfloor {n\alpha } \right\rfloor +1:n}$ f.s. ein α-Stichprobenquantil.

Speziell für $\alpha = 0,5$ gilt:

Ist n ungerade, so ist $\mu _{0.5\:,\:n} = X_{\left( {n+1} \right)/2\::\:n}$ der f.s. eindeutig bestimmte Stichprobenmedian, nämlich das mittlere Element der geordneten Stichprobe $X_{1:n} , \ldots ,X_{n:n}$ .
Ist n gerade, so ist jede zwischen $X_{n/2\::\:n}$ und $X_{n/2+1\::\:n}$ gelegene Stichprobenfunktion ein Stichprobenmedian. Häufig wird dann das arithmetische Mittel dieser Größen, also $\tilde \mu _{\frac{1} {2}\:,\:n} = \frac{1} {2}\left( {X_{\frac{n} {2}\::\:n} +X_{\frac{n} {2}+1\::\:n} } \right)$ als Stichprobenmedian verwendet.