1.2 – Beispiele für Problemstellungen

 

Auszug aus dem Skript der Vorlesung Finite Elemente bei Dr.-Ing Philipp Höfer an der UniBw München.

1.2.1 Euler-Bernoulli-Balken

Ein Biegebalken wird durch eine beliebige Lastverteilung beansprucht:

biegebalken-lastverteilung-feste-einspannung-differentialgleichung

Die DGL lautet:

{\left( {EI{w^{\prime \prime }}} \right)^{\prime \prime }} = q\left( x \right)

Dabei ist EI die Biegesteifigkeit.

1.2.2 Membranspannungen

Eine Membran (z.B. von einem Lautsprecher) führt Schwingungen durch:

membran-schwingung-lautsprecher-normaleneinheitsvektor-gebiet

A: Gebiet, C: Rand, \vec n: Normaleneinheitsvektor

Die DGL lautet:

S\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right)+p = S\Delta w+p = \rho h\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}}

Dabei ist w\left( {x,y,t} \right) die Auslenkung der Membran, S die Vorspannkraft, p eine Flächenlast, \rho die Dichte, h die Dicke der Membran und \Delta = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} der Laplace-Operator.

1.2.3 Fouriersche Wärmeleitung (stationär)

Siehe Vorlesung Wärmeübertragung. Die Differentialgleichung lautet:

{a^2}\left( {\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial {y^2}}}} \right) = -\frac{Q}{{c\rho }}.

Dabei ist T\left( {x,y} \right) das Temperaturfeld, Q die Wärmemengenproduktion und {a^2} = \frac{\lambda }{{c\rho }}, wobei \lambda die Wärmeleitzahl ist, c die spezifische Wärmekapazität und \rho die Dichte.

1.2.4 Ebener Spannungszustand

Die Differentialgleichungen für den ebenen Spannungszustand lauten für elastisches Material:

\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}}+\frac{{1+\nu }}{{1-\nu }}\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}+\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right)+\frac{{{f_x}}}{G} = \frac{\rho }{G}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}

\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}+\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {y^2}}}+\frac{{1+\nu }}{{1-\nu }}\frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial x}}+\frac{{\partial v}}{{\partial y}}} \right)+\frac{{{f_y}}}{G} = \frac{\rho }{G}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}

mit den eingeprägten Volumenkräften {f_x},{f_y}, der Dichte \rho, dem Gleitmodul G, der Querkontraktionszahl \nu und den Verschiebungen der materiellen Punkte in x- bzw. y-Richtung u\left( {x,y,t} \right),v\left( {x,y,t} \right).

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