.02.3 – Berechnung von Dämpfungskennwerten aus einem Graphen

 

Die Bewegung eines gedämpften Feder-Masse-Schingers wird gemessen und auf einem Speicherosilloskop beobachtet. Man misst y0 (das 0. Maximum) und nach 4 Perioden (4 T) y8 (das 4. Maximum).

Aufgabenstellung Graph Bestimmung Dämpfungskennwerte

Man berechne:

  1. das logarithmische Dekrement Λ
  2. das Dämpfungsmaß θ
  3. die Abklingzeit τ
  4. die Federkonstante c
  5. die Dämpfungskonstante r

Gegeben: m = 0,5 kg, y0 = 3 cm, y8 = 1 cm, Td = 0,2 s

Lösung

Bevor wir an die Lösung der Aufgabenstellung gehen, müssen wir die übliche Vorarbeit leisten. Wir schneiden die Masse frei

Freigeschnittenes System

und stellen den Schwerpunktsatz auf:

m\ddot y = -F_d -F_c

(Die beiden Kräfte wirken entgegen der Bewegungsrichtung. Diese ist hier y und verläuft nach rechts)

Für die beiden Kräfte gilt:

F_d  = r\dot y

F_c  = cy

Eingesetzt:

m\ddot y = -r\dot y-cy

Umgestellt zu einer homogenen Differentialgleichung:

m\ddot y+r\dot y+cy = 0

Die Lösung der Differentialgleichung ist

y\left( t \right) = Ae^{-\delta t} \sin \left( {\omega _d t+\phi _0 } \right)

a ) logarithmisches Dekrement

Für eine Erklärung siehe den Artikel über das logarithmische Dekrement.

Es gilt:

\Lambda  = \ln \frac{{y\left( {t_i } \right)}} {{y\left( {t_{i+1} } \right)}} = \frac{1} {n}\,\ln \frac{{y\left( {t_i } \right)}} {{y\left( {t_{i+n} } \right)}}{\text{  mit  }}n \in \mathbb{N}

In diesem Fall ist y(t0) und y(t4) gegeben, wir setzen ein:

\Lambda  = \frac{1} {4}\,\ln \left( {\frac{{3cm}} {{1cm}}} \right) = 0,275

b ) Lehrsches Dämpfungsmaß

Für das Lehrsche Dämpfungsmaß gilt:

\vartheta  = \frac{\delta } {{\omega _1 }}

sowohl die Abklingkonstante als auch die Eigenkreisfrequenz sind aber unbekannt. Wir gehen daher den Umweg über das logarithmische Dekrement. Es gilt:

\Lambda  = \delta T_d \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \delta  = \frac{\Lambda } {{T_d }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \vartheta  = \frac{{\frac{\Lambda } {{T_d }}}} {{\omega _1 }} = \frac{\Lambda } {{T_d \omega _1 }}

Das logarithmische Dekrement haben wir bereits berechnet. Die Quasiperiodendauer Td ist zwar in der Aufgabenstellung gegeben, wir brauchen sie aber, um die Eigenkreisfrequenz wegkürzen zu können. Für die Quasiperiodendauer gilt:

T_d  = \frac{{2\pi }} {{\omega _d }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \vartheta  = \frac{\Lambda } {{T_d \omega _1 }} = \frac{\Lambda } {{\frac{{2\pi }} {{\omega _d }}\omega _1 }} = \frac{{\Lambda \omega _d }} {{2\pi \omega _1 }}

Schon wieder haben wir uns eine neue Unbekannte eingefangen, dieses Mal die Kreisfrequenz des gedämpften Systems. Für diese gilt:

\omega _d  = \sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 }  = \omega _1 \sqrt {1-\frac{{\delta ^2 }} {{\omega _1^2 }}} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \vartheta  = \frac{{\Lambda \omega _d }} {{2\pi \omega _1 }} = \frac{{\Lambda \omega _1 \sqrt {1-\frac{{\delta ^2 }} {{\omega _1^2 }}} }} {{2\pi \omega _1 }} = \frac{{\Lambda \sqrt {1-\vartheta ^2 } }} {{2\pi }}

Da das Lehrsche Dämpfungsmaß nun auch in der Wurzel vorkommt, quadrieren wir und lösen auf:

\vartheta ^2  = \frac{{\Lambda ^2 \left( {1-\vartheta ^2 } \right)}} {{4\pi ^2 }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \vartheta ^2  = \frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 }}-\frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 }}\vartheta ^2 \quad \quad

\Rightarrow \quad \quad \vartheta ^2  = \frac{{\frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 }}}} {{1+\frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 }}}} = \frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 +\Lambda ^2 }}

Wurzel ziehen:

\vartheta  = \sqrt {\frac{{\Lambda ^2 }} {{4\pi ^2 +\Lambda ^2 }}}  = \frac{\Lambda } {{\sqrt {\left( {2\pi } \right)^2 +\Lambda ^2 } }}

Werte einsetzen:

\vartheta  = \frac{{0,275}} {{\sqrt {\left( {2\pi } \right)^2 +0,275^2 } }} = 0,0437

c ) Abklingzeit

Für die Abklingzeit gilt:

\tau  = \frac{1} {\delta }

\Lambda  = \delta T_d \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \delta  = \frac{\Lambda } {{T_d }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \tau  = \frac{1} {\delta } = \frac{{T_d }} {\Lambda }

Dieses Mal können wir direkt den Wert der Quasiperiodendauer aus der Aufgabenstellung einsetzen:

T_d  = \frac{{2\pi }} {{\omega _d }} = 0,2s\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \tau  = \frac{{T_d }} {\Lambda } = \frac{{0,2}} {{{\text{0}}{\text{,275}}}}s = 0,727s

e ) Dämpfungskonstante

Für die Dämpfungskonstante gilt:

r = 2\delta m = \frac{{2m}} {\tau } = 1,375\frac{{kg}} {s}