8.1 – Berechnung von Temperaturfeldern – Lokale Energiebilanz

 

Wir gehen aus von der lokalen Energiebilanz

\rho \dot e = \mathbb{T}\dot {\mathbb{E}}-\operatorname{div} \vec q+\rho r.

Dabei ist \rho die Dichte, e die innere Energie, \vec q der Wärmestrom und r die Wärmequelle.

Annahme 1: Es wird ein rein thermischer Prozess betrachtet (spannungsfrei):

\mathbb{T} = 0,\quad e = e\left( \theta \right)

mit der spezifischen Wärmekapazität

{c_V} = \frac{{\partial e}}{{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad \dot e = {c_V}\dot \theta

Annahme 2: Fourier’sche Wärmeleitung:

q = -\lambda \operatorname{grad} \theta ,\quad \lambda = \operatorname{const}

\Rightarrow \quad \operatorname{div} \vec q = \operatorname{div} \operatorname{grad} \theta = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\frac{{\partial \theta }}{{\partial {x_i}}}\left( {{{\vec e}_j} \cdot {{\vec e}_i}} \right) = \frac{{{\partial ^2}\theta }}{{\partial x_i^2}} = \Delta \theta

Einsetzen in die lokale Energiebilanz ergibt

\rho {c_V}\dot \theta = \lambda \Delta \theta +\rho r.