01.3 – Beschleunigung der Saturn V von der Erde und im Weltraum

 

Die Saturn V-Rakete hatte eine Startmasse von {m_0}=3\cdot{10^6}kg. Die Treibstoffmasse der ersten Stufe betrug {m_{T1}}=2,1\cdot{10^6}kg. Jedes der fünf Triebwerke der ersten Stufe lieferte einen Schub von 7,35\cdot 10^6 N bei einer Brenndauer von 160 Sekunden.

a )

Welche Geschwindigkeit würde diese Rakete bei Brennschluss der ersten Stufe im schwerelosen Raum erreichen?

b )

Welche Geschwindigkeit erreicht die Rakete bei Brennschluss der ersten Stufe im Senkrechtflug im homogenen Schwerefeld der Erde?

c )

Welche Brennschlussgeschwindigkeit würde die Rakete in a) bzw. b) bei doppeltem Massendurchsatz erreichen?

Lösung

a )

Gegeben:

Gesamtmasse der Rakete beim Start: {m_0}=3\cdot{10^6}kg

Treibstoffmasse der ersten Stufe: {m_{{T1}}}=2,1\cdot{10^6}kg

Brenndauer der ersten Stufe: {t_{B1}}=160s

Gesamtschub der ersten Stufe: {F_1}=5\cdot\left({7,35\cdot{{10}^6}N}\right)=36,75\cdot{10^6}N=3,675\cdot{10^7}n

Gesucht:

Brennschlussgeschwindigkeit der ersten Stufe im schwerelosen Raum: {v_{B1}}

Zunächst einmal lässt sich aus der Treibstoffmasse und der Brenndauer der Gesamtmassendurchsatz der ersten Stufe berechnen:

{\dot m_1}=\frac{{{m_{{T1}}}}}{{{t_{B1}}}}=\frac{{2,1\cdot{{10}^6}kg}}{{160s}}=13125\frac{{kg}}{s}

Hiermit kann nun die effektive Ausstoßgeschwindigkeit des Gases aus den Triebwerken der ersten Phase {c_{{e_1}}} bestimmt werden:

{c_{{e_1}}}=\frac{{{F_1}}}{{{{\dot m}_1}}}=\frac{{3,675\cdot{{10}^7}N}}{{13125\frac{{kg}}{s}}}=2800\frac{m}{s}

Mit Hilfe der Austrittsgeschwindigkeit berechnen wir nun die charakteristische Geschwindigkeit. Dazu benutzen wir die Ziolkowsky-Gleichung für eine einzelne Schubperiode:

{v_{B1}}=\Delta{v_{ch}}=\Delta v={c_{{e_1}}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_{B1}}}}}\right)={c_{{e_1}}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-{m_{{T1}}}}}}\right)

=2800\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{3\cdot{{10}^6}kg}}{{\left({3\cdot{{10}^6}-2,1\cdot{{10}^6}}\right)kg}}}\right)=\underline{\underline{3371\frac{m}{s}}}

b )

Im homogenen Schwerefeldes der Erde (Erdbeschleunigung g=9,81\frac{m}{s^2}) wird die Beschleunigung der Rakete von der Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt überlagert. Es gilt daher für die Brennschlussgeschwindigkeit:

{v_{B1}}=\Delta v={c_{{e_1}}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-{m_{{T1}}}}}}\right)-g\cdot{t_{B1}}

=2800\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{3\cdot{{10}^6}kg}}{{\left({3\cdot{{10}^6}-2,1\cdot{{10}^6}}\right)kg}}}\right)-9,81\frac{m}{{{s^2}}}\cdot 160s=\underline{\underline{1801\frac{m}{s}}}

c )

Wird der Massedurchsatz im Raketentriebwerk verdoppelt, die Treibstoffmenge aber nicht erhöht, ist der vorhandene Treibstoff bereits in der halben Zeit verbraucht.

\Rightarrow{t_{{B,{neu}}}}=80s

Damit ergibt sich nun der Massendurchsatz:

{\dot m_{neu}}=26250\frac{{kg}}{s}

Bei doppeltem Massendurchsatz verdoppelt sich auch der Schub, wodurch die effektive Ausstoßgeschwindigkeit des Triebwerkgases konstant bleibt:

c_{{e1,neu}}=\frac{{{F_{neu}}}}{{{{\dot m}_{neu}}}}=\frac{{2\cdot 3,675\cdot{{10}^7}N}}{26250\frac{{kg}}{s}}=2800\frac{m}{s}={c_{{e1}}}

Beschleunigung in Schwerelosigkeit:

{v_{B1,neu}}=\Delta{v_{ch}}=\Delta v={c_{e1,neu}}\cdot\ln\left({\frac{{{m_0}}}{{{m_{{B_1}}}}}} \right) =2800\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{3\cdot{{10}^6}kg}}{{\left({3\cdot{{10}^6}-2,1\cdot {{10}^6}} \right)kg}}}\right)

=\underline{\underline{3371\frac{m}{s}={v_{B,1}}}}

Das Ergebnis von a) würde sich nicht ändern, da es nicht zeitabhängig ist. Es spielt in der Schwerelosigkeit keine Rolle, ob der vorhandene Treibstoff in kurzer oder langer Zeit ausgestoßen wird, nur die Menge und die Austrittsgeschwindigkeit spielt eine Rolle.

Beschleunigung im Schwerefeld der Erde:

{v_{{B1}_{neu}}}=\Delta v={c_{{e_1}_{neu}}}\cdot\ln\left({\frac{m_0}{{{m_0}-{m_{{T_1}}}}}}\right)-g\cdot{t_{B1}}

=2800\frac{m}{s}\cdot\ln\left({\frac{{3\cdot{{10}^6}kg}}{{\left({3\cdot{{10}^6}-2,1\cdot{{10}^6}}\right)kg}}}\right)-9,81\frac{m}{{{s^2}}}\cdot 80s=\underline{\underline{2586\frac{m}{s}}}

Je länger das Gravitationsfeld auf die Rakete wirken kann, desto langsamer wird sie. Es ist also von Vorteil, den verfügbaren Treibstoff möglichst in kurzer Zeit auszustoßen und so das Schwerefeld der Erde schnell zu verlassen.

\mathcal{T}\mathcal{H}