03.1 – Äquivalente Kraftschraube

 

An einem starren Körper greifen die folgenden Kräfte an:

\vec F_1  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right)\quad \quad \vec F_2  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    4  \\   \end{array} } \right)\quad \quad \vec F_3  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    8  \\    0  \\   \end{array} } \right)

Sie haben die folgenden Angriffsvektoren:

\vec r_1  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    2  \\   \end{array} } \right)\quad \quad \vec r_2  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    -4  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right)\quad \quad \vec r_3  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right)

Man bestimme

  1. die resultierende Kraft FR und das resultierende Moment M bezüglich des Koordinatenursprungs O
  2. die äquivalente Kraftschraube durch Angabe eines Ortsvektors a und des Momentes MR in Richtung von R

Lösung

Die resultierende Kraft FR ergibt sich als Summe der drei Einzelkräfte:

\vec F_R  = \vec F_1 +\vec F_2 +\vec F_3  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    4  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    8  \\    0  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right)

Das resultierende Moment ergibt sich aus den Kreuzprodukten der Angriffsvektoren mit den Kräften:

\vec M_0  = \vec r_1  \times \vec F_1 +\vec r_2  \times \vec F_2 +\vec r_3  \times \vec F_3

\vec M_0  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    2  \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    -4  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    4  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    0  \\    0  \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    10  \\    0  \\   \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    16  \\    0  \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    26  \\    0  \\   \end{array} } \right)

Nun zur äquivalenten Kraftschraube.

Zunächst die Definition des Begriffes “äquivalent”:
Zwei Kraftsysteme heißen äquivalent, wenn sie in Bezug auf einen Bezugspunkt \vec c das gleiche resultierende Moment liefern.

Kraftschraube_1

Die Vektoren F1, F2 und F3 ergeben eine resultierende Kraft FR.
Diese Kraft greift am Koordinatenursprung an und bewirkt eine reine Verschiebung.

Zusätzlich erhalten wir durch die Angriffspunkte der Kräfte ein Moment (in Bezug auf den Punkt O). \Rightarrow M_0

Nun suchen wir das Moment, welches in dieselbe Richtung wie die resultierende Kraft FR wirkt. \Rightarrow M_R

M_R \parallel F_R

Wenn sich die Richtung des Moments ändert, ändert sich natürlich auch das resultierende Moment, das System ist daher nicht mehr äquivalent. Zum Ausgleich benötigen wir einen neuen Ortsvektor \vec a für die resultierende Kraft FR, so dass diese ein zusätzliches Moment erzeugt \left( {M_ \bot  } \right), welches mit dem zur Kraft FR parallelen Moment MR zusammen das ursprüngliche Moment M0 ergibt.

M_ \bot  +M_R  = M_0

Dabei sollen a und R senkrecht zueinander sein.

Kraftschraube_2

Wir müssen nun den Verschiebungsvektor a bestimmen. Hierzu benutzen wir den folgenden Zusammenhang:

M_ \bot   = \vec a \times \vec F_R \quad und\quad M_ \bot   = \vec M_0 -\vec M_R

gleichsetzen:

\vec a \times \vec F_R  = \vec M_0 -\vec M_R

Diese Gleichung ist nicht ohne weiteres nach a aufzulösen. Wir verwenden einen kleinen “Trick” und multiplizieren kreuzweise mit FR:

\vec F_R  \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \vec F_R  \times \left\{ {\vec M_0 -\vec M_R } \right\}

\vec F_R  \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \vec F_R  \times \vec M_0 -\underbrace {\vec F_R  \times \vec M_R }_{\vec F_R \parallel \vec M_R  \Rightarrow 0}

Für den linken Teil betrachten wir die Umformung eines doppelten Kreuzproduktes:

\vec x \times \left\{ {\vec y \times \vec z} \right\} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x_1   \\    x_2   \\    x_3   \\   \end{array} } \right) \times \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    y_1   \\    y_2   \\    y_3   \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    z_1   \\    z_2   \\    z_3   \\   \end{array} } \right)} \right\}

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x_1   \\    x_2   \\    x_3   \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    y_2 z_3 -y_3 z_2   \\    y_3 z_1 -y_1 z_3   \\    y_1 z_2 -y_2 z_1   \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x_2 \left( {y_1 z_2 -y_2 z_1 } \right)-x_3 \left( {y_3 z_1 -y_1 z_3 } \right)  \\    x_3 \left( {y_2 z_3 -y_3 z_2 } \right)-x_1 \left( {y_1 z_2 -y_2 z_1 } \right)  \\    x_1 \left( {y_3 z_1 -y_1 z_3 } \right)-x_2 \left( {y_2 z_3 -y_3 z_2 } \right)  \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x_2 y_1 z_2 -x_2 y_2 z_1 -x_3 y_3 z_1 +x_3 y_1 z_3   \\    x_3 y_2 z_3 -x_3 y_3 z_2 -x_1 y_1 z_2 +x_1 y_2 z_1   \\    x_1 y_3 z_1 -x_1 y_1 z_3 -x_2 y_2 z_3 +x_2 y_3 z_2   \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    y_1 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 } \right)-z_1 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 } \right)  \\    y_2 \left( {x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_2 \left( {x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right)  \\    y_3 \left( {x_1 z_1 +x_2 z_2 } \right)-z_3 \left( {x_1 y_1 +x_2 y_2 } \right)  \\   \end{array} } \right)

= \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    y_1 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_1 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right)  \\    y_2 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_2 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right)  \\    y_3 \left( {x_2 z_2 +x_3 z_3 +x_1 z_1 } \right)-z_3 \left( {x_2 y_2 +x_3 y_3 +x_1 y_1 } \right)  \\   \end{array} } \right)

\vec x \times \left\{ {\vec y \times \vec z} \right\} = \left( {x_1 z_1 +x_2 z_2 +x_3 z_3 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    y_1 \\    y_2   \\    y_3   \\   \end{array} } \right)-\left( {x_1 y_1 +x_2 y_2 +x_3 y_3 } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    z_1   \\    z_2   \\    z_3   \\   \end{array} } \right)

= \left( {\vec x \cdot \vec z} \right)\vec y-\left( {\vec x \cdot \vec y} \right)\vec z

Dieses Prinzip wenden wir auf unsere Gleichung an:

\vec F_R  \times \left\{ {\vec a \times \vec F_R } \right\} = \left( {\vec F_R  \cdot \vec F_R } \right)\vec a-\underbrace {\left( {\vec F_R  \cdot \vec a} \right)}_{\vec F_R  \bot \vec a \to 0}\vec F_R

Es bleibt übrig:

\vec F_R ^2  \cdot \vec a = \vec F_R  \times \vec M_0 \quad  \Rightarrow \quad \vec a = \frac{{\vec F_R  \times \vec M_0 }} {{\vec F_R ^2 }}

Werte einsetzen:

\vec a = \frac{{\vec F_R  \times \vec M_0 }} {{\vec F_R ^2 }} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    26  \\    0  \\   \end{array} } \right)}} {{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right)}} = \frac{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    -104  \\    0  \\    130  \\   \end{array} } \right)}} {105} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    -\frac{{104}} {{105}}  \\    0  \\    \frac{{130}} {{105}}  \\   \end{array} } \right)

Zuletzt muss noch das Drehmoment MR in Richtung von FR ausgerechnet werden. Dieses ist einfach die Projektion des Vektors M0 auf FR (sieht Abbildung).

Die Projektion ist das Skalarprodukt aus M0 und dem Normalenvektor in Richtung FR:

\left| {\vec M_R } \right| = \vec M_0  \cdot \frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}}

Wir brauchen allerdings nicht nur den Betrag des Momentenvektors, sondern den Vektor selber. Um die Richtung zu ermitteln, multiplizieren wir mit dem normalisierten Richtungsvektor:

\vec M_R  = \left( {\vec M_0  \cdot \frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}}} \right)\frac{{\vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|}} = \frac{{\vec M_0  \cdot \vec F_R }} {{\left| {\vec F_R } \right|^2 }}\vec F_R  = \frac{{208}} {{105}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    5  \\    8  \\    4  \\   \end{array} } \right)

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