13 – Bestapproximation und orthogonales Komplement

Satz

Sei ein Unterraum eines Hilbert-Raumes . Dann existiert zu beliebigem $w \in H$ genau ein ${w_0} \in U$ , so dass

$\left\| {w-{w_0}} \right\| = \inf \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}$

mit

${w_0} = \arg \min \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}$

Dann heißt w_0 Bestapproximation.

Wir zeigen nun die Existenz von w_0 :

Beweis

Da eine Norm immer größer oder gleich Null ist, existiert ein $\delta \in \mathbb{R}$ , für das gilt:

$0 \leq \delta = \inf \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\} < \infty$

Dann gibt es auch eine Folge (Minimalfolge) $\left\{ {{u_v}} \right\} \subseteq U$ mit

$\mathop {\lim }\limits_{v \to \infty } \left\| {w-{u_v}} \right\| = \delta$

Daher ist für beliebige $\nu ,\mu \in \mathbb{N}$ :

${\left\| {{u_\nu }-{u_\mu }} \right\|^2} = {\left\| {\left( {w-{u_\mu }} \right)-\left( {w-{u_\nu }} \right)} \right\|^2}$

$= 2{\left\| {w-{u_\mu }} \right\|^2}+2{\left\| {w-{u_\nu }} \right\|^2}-4{\left\| {w-\frac{1} {2}\left( {{u_\mu }+{u_\nu }} \right)} \right\|^2} \in U$

Wegen

$\frac{{{u_\mu }+{u_\nu }}} {2} \in U$

ist

$w-\frac{1} {2}\left( {{u_\mu }+{u_\nu }} \right) \geq {\delta ^2}$

Für die Minimalfolge gibt es zu vorgegebenem $\varepsilon > 0$ einen Index $n\left( \varepsilon \right)$ , so dass für alle $\nu > n\left( \varepsilon \right)$ gilt:

${\left\| {w-{u_\nu }} \right\|^2} < {\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}$

Insgesamt erhalten wir für $\nu ,\mu > n\left( \varepsilon \right)$

${\left\| {{u_\nu }-{u_\mu }} \right\|^2} < 2\left( {{\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}} \right)+2\left( {{\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}} \right)-4{\delta ^2} = {\varepsilon ^2}$

Daher ist $\left\{ {{u_\nu }} \right\} \subseteq U$ eine Cauchy-Folge in , die wegen der Vollständigkeit von konvergiert gegen ein

${w_0}: = \mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {u_\nu }$

Wegen der Stetigkeit der Norm gilt dann

$\left\| {{w_0}-w} \right\| = \delta$

Wir nehmen an, dass sowohl u_1 als auch u_2 optimal sind. Dann ist aber $\frac{{{u_1}+{u_2}}} {2}$ noch besser. Dadurch wären sowohl u_1 als auch u_2 nicht mehr optimal.

Projektionssatz

Sei ein Unterraum eines Hilbert-Raumes .

Dann gibt es zu jedem $w \in H$ genau ein $v \in U$ mit w = v+z , so dass $z \bot U$ , d.h. $\left\langle {z,u} \right\rangle = 0\quad \forall u \in U$ .

Beweis

Konstruiere $v \in U$ als Bestapproximation:

$\left\| {w-v} \right\| = \min \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}$

Nun ist zu zeigen:

$z = w-v \bot U$

Dazu sei beliebig in ,

o.B.d.A. sei $u \ne 0$

Dann ist

$v+\alpha u \in U\forall \alpha \in \mathbb{C}$

und daher

${\left\| z \right\|^2} = {\left\| {w-v} \right\|^2} \leq {\left\| {w-\left( {v+\alpha u} \right)} \right\|^2}$

wobei

${\left\| {\left( {w-v} \right)-\alpha u} \right\|^2} = {\left\| {z-\alpha u} \right\|^2}$

$= \left\langle {z-\alpha u,z-\alpha u} \right\rangle = {\left\| z \right\|^2}-\alpha \left\langle {u,z} \right\rangle -\overline \alpha \left\langle {z,u} \right\rangle +\alpha \overline \alpha {\left\| u \right\|^2}$

Daher ist

$\alpha \frac{{\left\langle {u,z} \right\rangle }} {{{{\left\| u \right\|}^2}}}+\overline \alpha \frac{{\left\langle {z,u} \right\rangle }} {{{{\left\| u \right\|}^2}}} \leq \alpha \overline \alpha$