13 – Bestapproximation und orthogonales Komplement

 

Satz

Sei U ein Unterraum eines Hilbert-Raumes H. Dann existiert zu beliebigem w \in H genau ein {w_0} \in U, so dass

\left\| {w-{w_0}} \right\| = \inf \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}

mit

{w_0} = \arg \min \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}

Dann heißt w_0 Bestapproximation.

Wir zeigen nun die Existenz von w_0:

Beweis

Da eine Norm immer größer oder gleich Null ist, existiert ein \delta  \in \mathbb{R}, für das gilt:

0 \leq \delta  = \inf \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\} < \infty

Dann gibt es auch eine Folge (Minimalfolge) \left\{ {{u_v}} \right\} \subseteq U mit

\mathop {\lim }\limits_{v \to \infty } \left\| {w-{u_v}} \right\| = \delta

Daher ist für beliebige \nu ,\mu  \in \mathbb{N}:

{\left\| {{u_\nu }-{u_\mu }} \right\|^2} = {\left\| {\left( {w-{u_\mu }} \right)-\left( {w-{u_\nu }} \right)} \right\|^2}

= 2{\left\| {w-{u_\mu }} \right\|^2}+2{\left\| {w-{u_\nu }} \right\|^2}-4{\left\| {w-\frac{1} {2}\left( {{u_\mu }+{u_\nu }} \right)} \right\|^2} \in U

Wegen

\frac{{{u_\mu }+{u_\nu }}} {2} \in U

ist

w-\frac{1} {2}\left( {{u_\mu }+{u_\nu }} \right) \geq {\delta ^2}

Für die Minimalfolge gibt es zu vorgegebenem \varepsilon  > 0 einen Index n\left( \varepsilon  \right), so dass für alle \nu  > n\left( \varepsilon  \right) gilt:

{\left\| {w-{u_\nu }} \right\|^2} < {\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}

Insgesamt erhalten wir für \nu ,\mu  > n\left( \varepsilon  \right)

{\left\| {{u_\nu }-{u_\mu }} \right\|^2} < 2\left( {{\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}} \right)+2\left( {{\delta ^2}+\frac{{{\varepsilon ^2}}} {4}} \right)-4{\delta ^2} = {\varepsilon ^2}

Daher ist \left\{ {{u_\nu }} \right\} \subseteq U eine Cauchy-Folge in U, die wegen der Vollständigkeit von U konvergiert gegen ein

{w_0}: = \mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {u_\nu }

Wegen der Stetigkeit der Norm gilt dann

\left\| {{w_0}-w} \right\| = \delta

Wir nehmen an, dass sowohl u_1 als auch u_2 optimal sind. Dann ist aber \frac{{{u_1}+{u_2}}} {2} noch besser. Dadurch wären sowohl u_1 als auch u_2 nicht mehr optimal.

Projektionssatz

Sei U ein Unterraum eines Hilbert-Raumes H.

Dann gibt es zu jedem w \in H genau ein v \in U mit w = v+z, so dass z \bot U, d.h. \left\langle {z,u} \right\rangle  = 0\quad \forall u \in U.

Beweis

Konstruiere v \in U als Bestapproximation:

\left\| {w-v} \right\| = \min \left\{ {\left\| {w-u} \right\|:u \in U} \right\}

Nun ist zu zeigen:

z = w-v \bot U

Dazu sei u beliebig in U,

o.B.d.A. sei u \ne 0

Dann ist

v+\alpha u \in U\forall \alpha  \in \mathbb{C}

und daher

{\left\| z \right\|^2} = {\left\| {w-v} \right\|^2} \leq {\left\| {w-\left( {v+\alpha u} \right)} \right\|^2}

wobei

{\left\| {\left( {w-v} \right)-\alpha u} \right\|^2} = {\left\| {z-\alpha u} \right\|^2}

= \left\langle {z-\alpha u,z-\alpha u} \right\rangle  = {\left\| z \right\|^2}-\alpha \left\langle {u,z} \right\rangle -\overline \alpha  \left\langle {z,u} \right\rangle +\alpha \overline \alpha  {\left\| u \right\|^2}

Daher ist

\alpha \frac{{\left\langle {u,z} \right\rangle }} {{{{\left\| u \right\|}^2}}}+\overline \alpha  \frac{{\left\langle {z,u} \right\rangle }} {{{{\left\| u \right\|}^2}}} \leq \alpha \overline \alpha

Wir wählen

\alpha : = \frac{{\left\langle {z,u} \right\rangle }} {{{{\left\| u \right\|}^2}}}

Damit ist

\alpha \overline \alpha  +\overline \alpha  \alpha -\alpha \overline \alpha   \leq 0

\Rightarrow \overline \alpha  \alpha  \leq 0

Da der Betrag positiv sein muss, folgt:

\alpha  = 0

\Rightarrow \left\langle {z,u} \right\rangle  = 0

Die angegebene Zerlegung ist eindeutig, denn seien w = {v_1}+{z_1} = {v_2}+{z_2}

mit {v_i} \in U,\quad {z_i} \bot U

Dann folgt

\underbrace {{v_1}-{v_2}}_{ \in U} = \underbrace {{z_2}-{z_1}}_{ \bot U}

\Rightarrow \quad {v_1} = {v_2},\quad {z_1} = {z_2}

Kurz: H = U \oplus {U^ \bot } (\oplus: Eindeutige Zerlegung)

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